Formelsammlung Algebra

Die Formelsammlung zur Algebra ist ein Teil der Formelsammlung, in der auch Formeln der anderen Fachbereiche zu finden sind.

Grundrechenarten

Siehe dazu: Formelsammlung Grundrechenarten.

Arithmetische Notation

Es gilt: Punkt- vor Strichrechnung. Das heißt Mal und Geteilt binden stärker als Plus und Minus.

$a + ( b \cdot c ) + d = a + b \cdot c + d$

$( a \cdot b ) + ( c \cdot d ) = a \cdot b + c \cdot d$

$( a + b ) \cdot ( c + d ) \neq a + b \cdot c + d$

Bei Verwendung der Polnischen Notation bzw. der Umgekehrten Polnischen Notation bedarf es keiner Klammerung.

Axiome

• Assoziativ-Gesetz

$a \cdot \left( b \cdot c \right) = \left( a \cdot b \right) \cdot c$

$a + \left( b + c \right) = \left( a + b \right) + c$

• Kommutativ-Gesetz (Vertauschungsgesetz)

$a + b = b + a \,$

$a \cdot b = b \cdot a$

• Distributiv-Gesetz

$a \cdot \left( b + c \right) = a \cdot b + a \cdot c$ (linksdistributiv)

$\left( a + b \right) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$ (rechtsdistributiv)

Elementare Funktionen

Potenzen

• Definition Potenzen

$a^n = a \cdot a \cdot \dots \cdot a =\prod\limits^n_{i=1} a$ (n Faktoren)

formal (induktiv):

$a^n=\begin{cases} 1 & \mathrm{f\ddot ur} \quad n=0 \\ a\cdot a^{n-1} & \mathrm{f\ddot ur} \quad n \ge 1 \end{cases}$

• Begriffe zu Potenzen

$\,a^n$ (das Ergebnis der Rechnung) ist die Potenz

$\,a$ ist die Basis

$\,n$ ist der Exponent

• Potenzen mit gleicher Basis

$a^x \cdot a^y = a^{x+y}$

$\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$

• Potenzieren einer Potenz

$({a^x})^y = a^{x \cdot y}$

• Potenzen mit gleichem Exponenten

$a^x \cdot b^x = (a \cdot b)^x$

$\frac{a^x}{b^x} = \left( \frac{a}{b} \right)^x$

Potenzfunktionen mit ganzzahligem Exponenten

Graphen einiger Potenzfunktionen

$f(x)=x^n \qquad \text{mit} \qquad n \in \Z$

1. n positiv und gerade ($\!\,n = 2m; m \in \N^{+}$)

$f(x) = x^{2m} \qquad \text{mit} \qquad D_f = \R$

Wertebereich

$\!\,W_f = [0; + \infty[$

Nullstellen

$\!\,x_0 = 0$

Gemeinsame Punkte aller Funktionsgraphen

$\!\,(-1;1), (0;0), (1;1)$

2. n positiv und ungerade ($\!\,n = 2m + 1; m \in \N^{+}$)

$\!\,f(x)=x^{2m + 1} \qquad \text{mit} \qquad D_f = \R$

Wertebereich

$\!\,W_f = \R$

Nullstellen

$\!\,x_0 = 0$

Gemeinsame Punkte aller Funktionsgraphen

$\!\,(-1;-1), (0;0), (1;1)$

3. n negativ und gerade ($\!\,n = -2m; m \in \N^{+}$)

$\!\,f(x)=x^{-2m} \qquad \text{mit} \qquad D_f = \R \ {0}$

Wertebereich

$\!\,W_f = ]0; + \infty[$

Nullstellen

Diese Funktionen besitzen keine Nullstellen!

Gemeinsame Punkte aller Funktionsgraphen

$\!\,(-1;1), (1;1)$

4. n negativ und ungerade ($\!\,n = -(2m-1); m \in \N^{+}$)

$\!\,f(x)=x^{-(2m-1)} \qquad \text{mit} \qquad D_f = \R \ {0}$

Wertebereich

$\!\,W_f = \R \ {0}$

Nullstellen

Diese Funktionen besitzen keine Nullstellen!

Gemeinsame Punkte aller Funktionsgraphen

$\!\,(-1;-1), (1;1)$

Potenzfunktionen mit gebrochenen Exponenten (Wurzelfunktionen)

$\!\,f(x)=x^n \qquad \text{mit} \qquad n = \frac{p}{q} \qquad (p,q \in \N^{+}, p \ne q)$

Definitionsbereich

$\!\,D_f = [0, + \infty[$

Wertebereich

$\!\,W_f = [0, + \infty[$

Nullstellen

$\!\,x_0 = 0$

Gemeinsame Punkte aller Funktionsgraphen

$\!\,(0;0), (1;1)$

Wurzeln

• Begriffe zu Wurzeln

$x = \sqrt[n]{a}$

n ist der Wurzelexponent

a ist der Radikand

• Definition Wurzel

$x^n = a \Leftrightarrow x = \sqrt[n]{a} \qquad \left(a \in \mathbb{R},a \geq 0, n \in \mathbb{N^+}\right)$

• Negativer Radikand und ungerader Exponent

$\sqrt[n]{-a}=-\sqrt[n]{a}\qquad \left(a \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N^+}, n=2u-1,u \in \mathbb{N^+}\right)$

Für $n,m \in \mathbb{N};\,n \geq 2;\, a \in \mathbb{R};\, a,\,b>0$ gelten folgende Regeln

• $\sqrt[n]{a} = a^\frac{1}{n}$
• $\sqrt[n]{a ^m} = ({\sqrt[n]{a}}) ^m = a^\frac{m}{n}$
• $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$
• ${{ \sqrt[n]{a}} \over {\sqrt[n]{b}}} = \sqrt[n]{a \over b}$
• $\sqrt[n]{{\sqrt[m]{a}}} = \sqrt[n \cdot m]{a}$
• $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[m]{a} = \sqrt[n \cdot m]{a^{n+m}}$
• $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n \cdot m]{a^{m-n}}$

und die Regeln können auf $n,m\in\mathbb{R}$ erweitert werden.

Logarithmus

• Definition des Logarithmus zur Basis b

$x = \log_b a \Leftrightarrow a = b^x$

• Logarithmus-Gesetze

1. $\log_x ( a \cdot b) = \log_x a + \log_x b$
2. $\log_x \left( \frac{a}{b} \right) = \log_x a - \log_x b$
3. $\log_x \left( a^b \right) = b \cdot \log_x a$

• Basiswechsel

1. $\log_b a = c \Longleftrightarrow c = \frac{\log_x a}{\log_x b}$

Logarithmusfunktionen

$f(x) = \log_a x \qquad \text{mit} \qquad a \in \R, a > 0, a \ne 1$

Definitionsbereich

$\!\,D_f = ]0, + \infty[$

Wertebereich

$\!\,W_f = \R$

Nullstellen

$\!\,x_0 = 1$

Gemeinsame Punkte aller Funktionsgraphen

$\!\,(1;0)$

Spezialfälle

$\!\,f(x) = \log_{10} x = \lg x$

$\!\,f(x) = \log_e x = \ln x$

$\!\,f(x) = \log_2 x = \operatorname{lb} x$

Exponentialfunktionen

$\!\,f(x)=a^x \qquad \text{mit} \qquad a \in \R, a > 0, a \ne 1$

Definitionsbereich

$\!\,D_f = \R$

Wertebereich

$\!\,W_f = ]0, + \infty[$

Nullstellen

Diese Funktionen besitzen keine Nullstellen!

Gemeinsame Punkte aller Funktionsgraphen

$\!\,(0;1)$

Spezialfall

$\!\,f(x) = e^x$

Gesetze der Anordnung

Betrag, Signum, Gaußklammer

Betrag:

$|x|:= \begin{cases} \;\;\,x & \mathrm{f\ddot ur} \quad x>0 \\ \;\;\,0 & \mathrm{f\ddot ur} \quad x=0 \\ -x & \mathrm{f\ddot ur} \quad x<0 \\ \end{cases}$

Signum:

$\sgn(x):= \begin{cases} \;\;\,1 & \mathrm{f\ddot ur} \quad x>0 \\ \;\;\,0 & \mathrm{f\ddot ur} \quad x=0 \\ -1 & \mathrm{f\ddot ur} \quad x<0 \\ \end{cases}$

Das Signum einer komplexen Zahl ≠ 0 ist gleich die Zahl geteilt durch ihren Betrag, also sign(z)=z/|z|.

Also gilt: $x = \sgn(x) \cdot |x|$

Die Gaußklammer einer (reellen) Zahl ist die größte ganze Zahl, die kleiner als die Zahl selbst ist.

Termumformungen

8 - (2 − a + b)

Hier ist die „Minusklammer“ zu beachten. Minusklammer heißt, dass vor der Klammer ein Minus (-) steht. Somit müssen alle Werte in der Klammer mit (−1) multipliziert werden.

= 8 + (2·(−1) − a·(−1) + b·(−1)) = 8 - 2 + a − b = 6 + a − b

Generell dürfen bei einer Gleichung folgende Termumformungen durchgeführt werden

• Addition (und folglich auch Subtraktion) derselben Zahl oder Variablen auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens
• Multiplikation (und folglich auch Division) derselben Zahl ungleich Null auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens

sowie

• Klammern auflösen
• Seiten vertauschen
• Summanden vertauschen

jeweils auf einer Seite der Gleichung.

Beispiel:

3(2x-1) + 2 = x | Klammer auflösen (Distributivgesetz)

6x - 3 + 2 = x | Zusammenfassen

6x - 1 = x | - 6x

- 1 = -5x | :(-5)

1/5 = x

Grundlegende Funktionen

Definition

In der Mathematik ist eine Funktion oder Abbildung eine Beziehung zwischen zwei Mengen, die jedem Element der einen Menge (Eingangsgröße, Funktionsargument, unabhängige Variable, x-Wert) ein Element der anderen Menge (Ausgangsgröße, Funktionswert, abhängige Variable, y-Wert) zuordnet:

$f\colon D\to Z$ oder

$f\colon x\mapsto y$

Gerade Funktion

$\!\,f(x) = f(-x) \qquad \mathrm{f\ddot ur\ jedes} \quad x \in D_f$

Der Graph liegt somit symmetrisch zur y-Achse!

Ungerade Funktion

$\!\,f(x) = -f(-x) \qquad \mathrm{f\ddot ur\ jedes} \quad x \in D_f$

Der Graph liegt somit zentralsymmetrisch zum Koordinatenursprung!

Lineare Funktionen

Geraden - Graphen der Linearen Funktion

$\!\,f(x) = m x + n \qquad \text{mit} \qquad a \ne 0$ und $D_F = \R$

Wertebereich

$\!\,W_f = \R$

Nullstellen

$\!\,x_0=-\frac{n}{m}$

Schnittpunkte mit der y-Achse

$\!\,S(0;n)$

Anstieg

$\!\,m=\tan{\alpha}=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$

$\!\,\alpha \rightarrow$ Schnittwinkel des Graphen mit der x-Achse

$\!\,m > 0 \rightarrow$ steigende Gerade

$\!\,m < 0 \rightarrow$ fallende Gerade

Lineare Gleichungssysteme

Ein System aus $\!\,m$ linearen Gleichungen mit $\!\,n$ Variablen $\!\,x_1, x_2, x_3, \dots, x_n$ wird lineares Gleichungssystem genannt.

Jedes derartige Gleichungssystem lässt sich in folgender Form darstellen:

$\begin{matrix} a_{11}x_1 & + & a_{12}x_2 & + & a_{13}x_3 & + & \dots & + & a_{1n}x_n & = b_1\\ a_{21}x_1 & + & a_{22}x_2 & + & a_{23}x_3 & + & \dots & + & a_{2n}x_n & = b_2\\ a_{31}x_1 & + & a_{32}x_2 & + & a_{33}x_3 & + & \dots & + & a_{3n}x_n & = b_3\\ \vdots & & & & & & & & & \vdots\\ a_{m1}x_1 & + & a_{m2}x_2 & + & a_{m3}x_3 & + & \dots & + & a_{mn}x_n & = b_m\\ \end{matrix}$

Homogene und Inhomogene Systeme

Ein Lineares Gleichungssystem, bei dem alle Konstanten $\!\,b_i$ (Absolutglieder) den Wert $\!\,0$ haben, heißt homogen.

Sind nicht alle Absolutglieder gleich $\!\,0$, so wird das System inhomogen genannt.

Gleichsetzungsverfahren

Bei dem Gleichsetzungsverfahren zum Lösen von Linearen Gleichungssysteme werden die einzelnen Gleichungen zunächst zu einer gemeinsamen Variable umgeformt und dann gleichgesetzt:

$\!\,\begin{matrix} (1) & x + y & = & 3\\ (2) & x \cdot y & = & 2\\ \end{matrix}$

Diese beiden Gleichungen werden nun nach $\!\,x$ umgestellt:

$\!\,\begin{matrix} (1') & x & = & 3 - y\\ (2') & x & = & 2 : y\\ \end{matrix}$

Nun kann man diese beiden Gleichungen gleichsetzen, da sie von ihren Werten her identisch sind ($\!\,x=x$):

$\begin{align} 3 - y &= 2:y &|\,& \cdot y\\ y ( 3 - y ) &= 2 &|\,& \mathrm{Klammer aufl\ddot osen.} \\ 3y - y^2 &= 2 &|\,& - 3y\\ - y^2 &= 2 - 3y &|\,& + y^2\\ 0 &= y^2 - 3y +2 &|\,& \text{Quadratische Gleichung in der Normalform} \rightarrow \mathrm{L\ddot osen.}\\ y_1 &= 1 & &\\ y_2 &= 2 & & \end{align}$

Hierbei erhält man zwei Lösungen, was darauf hinweist, dass das System zwei Lösungen hat. Diese Lösungen setzt man in eine der beiden Ausgangsgleichungen (bzw. deren umgestellte Variante) ein und erhält jeweils die Variable x dazu:

$\!\,\begin{align} y_1: & x_1 &=& 3 - y_1\\ & x_1 &=& 3 - 1\\ & x_1 &=& 2\\ y_2: & x_2 &=& 3 - y_2\\ & x_2 &=& 3 - 2\\ & x_2 &=& 1\\ \end{align}$

Somit hat das Gleichungssystem zwei Lösungen:

$\!\,\mathbb{L} = \{(1\,|\,2), (2\,|\,1)\}$

Additionsverfahren

Wie der Name schon im Ansatz verrät, werden mit Hilfe des Additionsverfahren Gleichungen addiert. Dies geschieht in der Regel so, dass eine oder gleich mehrere Variablen in den Gleichungen eliminiert werden:

$\begin{matrix} (1) & 5x & + & 3y & = & 5\\ (2) & 3x & + & y & = & -1 \end{matrix}$

Dazu muss eine der beiden Gleichungen so umgeformt werden, dass bei einer Addition der beiden Gleichungen eine Variable verschwindet. In diesem Beispiel multiplizieren wir dazu Gleichung (2) auf beiden Seiten mit $\!\,-3$:

$\!\,(2) \quad 3x + y = -1 | \cdot (-3)$

Dadurch erhalten wir ein gleichwertiges Gleichungssystem, in dem der Term $\!\,-3y$ vorkommt:

$\begin{matrix} (1) & 5x & + & 3y & = & 5 \\ (2') & -9x & - & 3y & = & 3 \end{matrix}$

Nun werden beide Gleichungen des Systems addiert und somit in einer Gleichung zusammengefasst:

$\begin{matrix} (5x + 3y) & + & (-9x - 3y) & = & 5 + 3 \\ 5x - 9x & + & 3y - 3y & = & 8 \\ - 4x & + & 0y & = & 8 \\ -4x & & & = & 8 \end{matrix}$

Anschließend wird nach der verbliebenen Variablen $\!\,x$ aufgelöst:

$\begin{matrix} -4x & = & 8 & | \div (-4) \\ x & = & -2& \end{matrix}$

$\begin{matrix} 5 \cdot (-2) & + & 3y & = & 5 \\ -10 & + & 3y & = & 5 &|& + & 10 \\ & & 3y & = & 15 &|& \div & 3 \\ & & y & = & 5 \end{matrix}$

Dadurch erhalten wir die Lösungsmenge: $\!\,\mathbb{L} = \{(-2\,|\,5)\}$. Damit ist der Wert der ersten Variable bekannt. Diesen Wert ($\!\,x = -2$) setzen wir in Gleichung (1) ein, um den Wert der zweiten Variable zu berechnen:

Einsetzungsverfahren

Die Idee hinter dem Einsetzungsverfahren ist folgende: Man löst eine der Gleichungen nach einer Variablen auf und setzt diese Variable dann in die anderen Gleichungen ein. Dadurch wird eine Variable eliminiert.

Bei einem Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen geht man so vor:

1. Schritt 1: Auflösung einer Gleichung nach einer Variablen
2. Schritt 2: Einsetzen dieser Variablen in die anderen Gleichung
3. Schritt 3: Auflösen der im Schritt 2 erhaltenen Gleichung nach der enthaltenen Variablen
4. Schritt 4: Einsetzen der Lösung in die nach Schritt 1 umgeformten Gleichung

Gegeben ist folgendes Gleichungssystem:

$\begin{matrix} (1) & 12x & - & 5y & = & 29\\ (2) & 18x & + & 2y & = & 34 \end{matrix}$

Schritt 1:

Eine der beiden Gleichungen muss nach x oder y aufgelöst werden. In diesem Beispiel wird die 2. Gleichung nach y aufgelöst.

$\begin{matrix} (2) & 18x & + & 2y & = & 34 & |&-18x \\ (2) & & & 2y & = & 34 - 18x & |&:2 \\ (2) & & & y & = & 17 - 9x \end{matrix}$

Schritt 2:

Danach können wir in der ersten Gleichung das y durch den Term (17 − 9x) ersetzen und bekommen dann:

$\begin{matrix} (2 \text{ in } 1) & 12x & - & 5 \cdot (17 - 9x) & = & 29 \end{matrix}$

Schritt 3:

Diese Gleichung können wir nun nach x auflösen.

$\begin{matrix} 12x - 5 \cdot (17 - 9x) & = & 29 & |&\mathrm{Klammer aufl\ddot osen} \\ 12x - 85 + 45x & = & 29 & |&\text{zusammenfassen} \\ 57x - 85 & = & 29 & |&+85 \\ 57x & = & 114 & |&:57 \\ x & = & 2 \end{matrix}$

Schritt 4:

Die Lösung x = 2 wird in die umgestellte Gleichung (2) eingesetzt:

$\begin{matrix} x = 2 \text{ in (2) einsetzen:} & y & = & 17 - 9 \cdot 2\\ & y & = & -1 \end{matrix}$

Die Lösungsmenge ist somit: $\mathbb{L}=\{(2|-1)\}$.

Quadratische Gleichungen

Allgemeine Form

Die Parabel - Graph der Quadratischen Funktionen