Arrow/Pratt-Maß

Das Arrow-Pratt-Maß ist ein Maß für die Risikoaversion eines Entscheiders. Es ist nach Kenneth Arrow und John Pratt benannt.

Definition

Sei u eine zweimal differenzierbare Nutzenfunktion, dann ist das Arrow-Pratt-Maß der absoluten Risikoaversion definiert als

$ARA(x) = -\frac{u''(x)}{u'(x)}$.

Dabei implizieren negative Werte Risikofreude und positive Werte Risikoscheu. Nimmt das Maß den Wert Null an, ist der Entscheider risikoneutral. Die Ableitung des Maßes der absoluten Risikoaversion gibt die Veränderung der Risikoeinstellung bei erhöhtem Einkommen an. Werden beispielsweise alle möglichen Einkommen, die aus der Entscheidungssituation resultieren können, um einen konstanten Wert erhöht, so erlaubt ein positiver Wert der Ableitung der ARA die Aussage, dass der Entscheider seine Risikoaversion oder Risikofreude, je nach Wert der ARA, verstärken wird, ein negativer Wert, dass er weniger risikofreudig oder -avers handeln wird, und ein Wert von Null, dass die Erhöhung aller möglichen Einkommen sein Entscheidungsverhalten nicht beeinflusst.

Das Arrow-Pratt-Maß für die relative Risikoaversion

RRA(x) = ARA(x) * x

bzw.

$RRA(x) = -x*\frac{u''(x)}{u'(x)} = \frac {\delta u'}{\delta x}*\frac {x}{u'} = \eta_{u,x}$

Es entspricht also der Nutzenelastizität des möglichen Einkommens, welche eine Änderung der Risikobereitschaft bei veränderten möglichen Einkommen aus der Entscheidung ausdrückt. Ist das Maß der relativen Risikoaversion konstant, so wird der Entscheider bei einer gleichmäßigen, linearen Transformation aller möglichen Einkommen seine Entscheidung nicht ändern. Eine lineare relative Risikoaversion bedeutet eine abnehmende bzw. zunehmende Risikoaversion bei Erhöhung der möglichen Gewinne, je nachdem ob das Maß der RRA negativ bzw. positiv ist - die Ableitung der RRA gibt hierüber Aufschluss.

Ein Entscheider i ist risikoaverser als ein Entscheider j, wenn sich aus ihren Nutzenfunktionen u_i und u_j ergibt

$\forall x: ARA_i(x) \ge ARA_j(x)$.

Eigenschaften

Das Arrow-Pratt-Maß ist invariant gegenüber einer positiv linearen Transformation der Nutzenfunktion und eignet sich damit für die Neumann/Morgenstern-Theorie.

Literatur

• Arrow, Kenneth J.: Essays in the Theory of Risk-Bearing. Amsterdam 1970, ISBN 072043047X