Normalgleichung einer Ebene

Die Normalgleichung (oder auch Normalengleichung) einer Ebene hat die Form

$( \vec r - \vec a ) \cdot \vec n = 0$

oder

$\vec r \cdot \vec n - \vec a \cdot \vec n = 0$

wobei $\vec n$ ein Normalenvektor der Ebene, $\vec a$ der Ortsvektor eines beliebigen Punktes ist, der in der Ebene liegt und $\vec r= \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$ der Vektor der Unbekannten ist. Der Operator $\cdot$ steht für das Skalarprodukt.

Jeder Punkt, dessen Ortsvektor $\vec r$ die Gleichung erfüllt, liegt in der Ebene.

Ein Punkt, dessen Ortsvektor $\vec b$ die Normalgleichung nicht erfüllt, liegt (bezogen auf die Richtung des Normalenvektors)

• vor der Ebene, wenn $( \vec r - \vec b ) \cdot \vec n > 0$

• hinter der Ebene, wenn $( \vec r - \vec b ) \cdot \vec n < 0$.

Erklärung

Der Ortsvektor $\vec r$ eines beliebigen Punktes P der Ebene lässt sich als Summe

$\vec r = \vec r_s + \vec r_p$

darstellen, wobei $\vec r_s$ senkrecht zur Ebene (also parallel zu $\vec n$) und $\vec r_p$ parallel zur Ebene (also senkrecht zu $\vec n$) verläuft.

Dann ist

$\vec r \cdot \vec n = (\vec r_p + \vec r_s) \cdot \vec n = \vec r_p \cdot \vec n + \vec r_s \cdot \vec n = 0 + \vec r_s \cdot \vec n$,

weil $\vec r_p \cdot \vec n$ (als Skalarprodukt zueinander senkrechter Vektoren) stets 0 ist. Der Anteil $\vec r_s$ ist aber für jeden in der Ebene liegenden Punkt der gleiche, also ist für jeden Punkt der Ebene $\vec a \cdot \vec n = \vec r_s \cdot \vec n$ konstant. Damit folgt die Normalform

$\vec r \cdot \vec n = \vec a \cdot \vec n$

oder

$\vec r \cdot \vec n - \vec a \cdot \vec n = 0$.

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Siehe auch: Hessesche Normalform, Geradengleichung