- Normalgleichung
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Die Normalgleichung (oder auch Normalengleichung) einer Ebene hat die Form
oder
wobei
ein Normalenvektor der Ebene,
der Ortsvektor eines beliebigen Punktes ist, der in der Ebene liegt und
der Vektor der Unbekannten ist. Der Operator
steht für das Skalarprodukt.
Jeder Punkt, dessen Ortsvektor
die Gleichung erfüllt, liegt in der Ebene.
Ein Punkt, dessen Ortsvektor
die Normalgleichung nicht erfüllt, liegt (bezogen auf die Richtung des Normalenvektors)
- vor der Ebene, wenn
0" border="0">
- hinter der Ebene, wenn
.
Erklärung
Der Ortsvektor
eines beliebigen Punktes P der Ebene lässt sich als Summe
darstellen, wobei
senkrecht zur Ebene (also parallel zu
) und
parallel zur Ebene (also senkrecht zu
) verläuft.
Dann ist
,
weil
(als Skalarprodukt zueinander senkrechter Vektoren) stets 0 ist. Der Anteil
ist aber für jeden in der Ebene liegenden Punkt der gleiche, also ist für jeden Punkt der Ebene
konstant. Damit folgt die Normalform
oder
.
Siehe auch: Hessesche Normalform, Geradengleichung
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