Ordnung eines Gruppenelementes

Im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie versteht man unter der Ordnung eines Gruppenelementes oder Elementordnung eines Elements g einer Gruppe $(G, \cdot)$ die kleinste natürliche Zahl n > 0, für die gⁿ = e gilt, wobei e das neutrale Element der Gruppe ist. Gibt es keine derartige Zahl, so sagt man, g habe unendliche Ordnung. Elemente endlicher Ordnung werden auch Torsionselemente genannt. Die Ordnung wird manchmal mit $\operatorname{ord}(g)$ oder o(g) bezeichnet.

Dafür definiert man die Potenz eines Gruppenelementes:

• a⁰: = e
• $a^{n+1} := a^n \cdot a \text{ mit } n \in \N$

Eigenschaften

• Nach dem Satz von Lagrange haben alle Elemente einer endlichen Gruppe eine endliche Ordnung, die ein Teiler der Gruppenordnung, d.h. der Anzahl der Elemente der Gruppe, ist.
• Umgekehrt existiert nach den Sylow-Sätzen zu jedem Primteiler p der Gruppenordnung bei einer endlichen Gruppe ein Element, das die Ordnung p hat. Für Teiler, die keine Primzahlen sind, ist keine allgemeine Aussage möglich.
• Die Ordnung eines Elementes ist gleich der Ordnung der Untergruppe, die von diesem Element erzeugt wird.
• In abelschen Gruppen ist die Ordnung des Produktes gh ein Teiler des kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Ordnungen von g und h. In nichtabelschen Gruppen ist keine derartige Aussage möglich; beispielsweise hat das Element $\left(\!\begin{smallmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{smallmatrix}\!\right)$ der Gruppe SL₂(Z) unendliche Ordnung, es ist aber gleich dem Produkt der Elemente $\left(\!\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{smallmatrix}\!\right)$ und $\left(\!\begin{smallmatrix}0 & -1\\ 1 & 1\end{smallmatrix}\!\right)$ mit den jeweiligen Ordnungen 4 bzw. 6.