Satz von Lagrange

Der Satz von Lagrange ist ein mathematischer Satz aus dem Gebiet der Gruppentheorie. Er wurde nach dem italienischen Mathematiker Joseph-Louis Lagrange benannt.

Der Satz besagt, dass die Mächtigkeit (oder "Ordnung") jeder Untergruppe einer endlichen Gruppe deren Mächtigkeit teilt. Formal:

Sei G eine endliche Gruppe.

1. Ist H eine Untergruppe von G, so ist ihre Kardinalität $\left| H \right|$ ein Teiler von $\left| G \right|$.
2. Insbesondere teilt die Ordnung $\operatorname{ord}(x)$ eines Elementes x von G die Kardinalität $\left| G \right|$ von G.

Für eine endliche Gruppe G lautet der Satz von Lagrange genauer: $\left| G \right| = \left| H \right| \cdot \left| G/H \right|$ (hieraus folgt ja, dass $\left| H \right|$ ein Teiler von $\left| G \right|$ ist).

Beweis des Satzes

Sei H Untergruppe der endlichen Gruppe G.

Betrachte für jedes $g\in G$ die Nebenklasse $gH := \{gh \mid h\in H\}$. (Es ist $G/H := \{gH \mid g\in G\}$)

Es ist $h\mapsto gh$ eine Bijektion zwischen H und gH, denn $gh_1 = gh_2 \Rightarrow h_1 = h_2$. Darum sind alle Nebenklassen gleich groß (und haben | H | Elemente).

Haben zwei Nebenklassen g₁H, g₂H ein Element g₁h₁ = g₂h₂ gemeinsam, so sind die Nebenklassen sogar gleich: g₁H = g₁(h₁H) = (g₁h₁)H = g₂h₂H = g₂H.

Da schließlich die Nebenklassen ganz G überdecken (es ist $g\in gH$), wird G in endlich viele disjunkte | H | -elementige Teilmengen zerlegt, so dass | G | ein Vielfaches von | H | sein muss.

Die zweite Aussage des Satzes ist eine einfache Folgerung der ersten, da die von x erzeugte Untergruppe gerade die Kardinalität $\operatorname{ord}(x)$ besitzt.

Literatur

• Kurt Meyberg: Algebra - Teil 1. Hanser 1980, ISBN 3-446-13079-9, S. 47
• Gerd Fischer: Lehrbuch der Algebra. Vieweg 2008, ISBN 978-3-8348-0226-2, S. 28

Weblinks

• Satz von Lagrange in der Encyclopaedia of Mathematics (engl.)