- Satz von Lagrange
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Der Satz von Lagrange ist ein mathematischer Satz aus dem Gebiet der Gruppentheorie. Er wurde nach dem italienischen Mathematiker Joseph-Louis Lagrange benannt.
Der Satz besagt, dass die Mächtigkeit (oder "Ordnung") jeder Untergruppe einer endlichen Gruppe deren Mächtigkeit teilt. Formal:
Sei G eine endliche Gruppe.
- Ist H eine Untergruppe von G, so ist ihre Kardinalität
ein Teiler von
.
- Insbesondere teilt die Ordnung
eines Elementes x von G die Kardinalität
von G.
Für eine endliche Gruppe G lautet der Satz von Lagrange genauer:
(hieraus folgt ja, dass
ein Teiler von
ist).
Beweis des Satzes
Sei H Untergruppe der endlichen Gruppe G.
Betrachte für jedes
die Nebenklasse
. (Es ist
)
Es ist
eine Bijektion zwischen H und gH, denn
. Darum sind alle Nebenklassen gleich groß (und haben | H | Elemente).
Haben zwei Nebenklassen g1H, g2H ein Element g1h1 = g2h2 gemeinsam, so sind die Nebenklassen sogar gleich: g1H = g1(h1H) = (g1h1)H = g2h2H = g2H.
Da schließlich die Nebenklassen ganz G überdecken (es ist
), wird G in endlich viele disjunkte | H | -elementige Teilmengen zerlegt, so dass | G | ein Vielfaches von | H | sein muss.
Die zweite Aussage des Satzes ist eine einfache Folgerung der ersten, da die von x erzeugte Untergruppe gerade die Kardinalität
besitzt.
Literatur
- Kurt Meyberg: Algebra - Teil 1. Hanser 1980, ISBN 3-446-13079-9, S. 47
- Gerd Fischer: Lehrbuch der Algebra. Vieweg 2008, ISBN 978-3-8348-0226-2, S. 28
Weblinks
- Satz von Lagrange in der Encyclopaedia of Mathematics (engl.)
- Ist H eine Untergruppe von G, so ist ihre Kardinalität
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