Sylow-Sätze

Die Sylow-Sätze (nach Ludwig Sylow) sind drei mathematische Sätze aus der Algebra. Sie erlauben es, Aussagen über Untergruppen von endlichen Gruppen zu treffen und auch einige Gruppen endlicher Ordnung zu klassifizieren.

Im Gegensatz zu endlichen zyklischen Gruppen kann man bei beliebigen endlichen Gruppen im Allgemeinen nichts über die Existenz und Anzahl von Untergruppen aussagen. Man weiß lediglich, dass eine Untergruppe einer Gruppe G, sofern sie existiert, eine Ordnung hat, die Teiler der Ordnung von G ist. Die Sylowsätze liefern hier zusätzliche Aussagen, erlauben allerdings auch keine vollständige Klassifikation endlicher Gruppen. Diese vollzieht sich über die Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen.

Die Sätze

Sei im Folgenden G eine endliche Gruppe der Ordnung | G | = p^rm, wobei p eine Primzahl, r > 0 und m eine zu p teilerfremde natürliche Zahl seien.

1. G hat eine Untergruppe der Ordnung p^r.
2. Sei P < G eine p-Sylowuntergruppe. Dann enthält P von jeder Untergruppe U < G, die p-Gruppe ist, eine Konjugierte. Es gibt also ein $g \in G$ mit $gUg^{-1} \subseteq P$.
3. Die Anzahl der p-Sylow-Gruppen ist ein Teiler des Indexes m der p-Sylowuntergruppe von G und von der Form 1 + kp mit $k \in \N_0$.

Folgerungen

• Ist G eine Gruppe, deren Ordnung von einer Primzahl p geteilt wird, so gibt es in G ein Element der Ordnung p.
• Je zwei p-Sylowgruppen einer Gruppe G sind konjugiert (und damit isomorph).
• Sei G eine Gruppe und P < G eine p-Sylowgruppe. Es gilt:

P ist Normalteiler von $G \; \Leftrightarrow \; P$ ist die einzige p-Sylowgruppe von G.

• Sei G eine endliche Gruppe, deren Ordnung von einer Primzahl p geteilt wird. Ist G abelsch, so gibt es nur eine p-Sylowgruppe in G.

Beispiele

Jede Gruppe der Ordnung 15 ist zyklisch

Sei G eine Gruppe der Ordnung $|G|=15=3 \cdot 5$. Bezeichnet man mit s₃ die Anzahl der 3-Sylowuntergruppen von G und mit s₅ die Anzahl der 5-Sylowuntergruppen von G, so gilt:

1. $s_3 \equiv 1 \;\operatorname{mod}\; 3$ und $s_3 \mid 5$, also muss s₃ = 1 gelten.
2. $s_5 \equiv 1 \;\operatorname{mod}\; 5$ und $s_5 \mid 3$, also muss s₅ = 1 gelten.

Also sind die 3-Sylowuntergruppe G₃ und die 5-Sylowuntergruppe G₅ Normalteiler von G. Als p-Untergruppen zu verschiedenen Primzahlen schneiden sie sich in {e}, wobei $e \in G$ das neutrale Element von G bezeichnet. Daher ist ihr Komplexprodukt direkt. $G>G_3\cdot G_5\simeq G_3\times G_5$ (s. Komplementäre Normalteiler und direktes Produkt). Da das direkte Produkt die Ordnung 15 hat, folgt $G \simeq \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/5\mathbb{Z} \simeq \mathbb{Z}/15\mathbb{Z}$.

Es gibt keine einfache Gruppe der Ordnung 162

Sei $|G| = 162= 2\cdot 3^4$.

Aus $s_3 \equiv 1 \; \pmod{3}$ und $s_3 \mid 2$ folgt s₃ = 1

Also ist die 3-Sylowgruppe ein Normalteiler von G der Ordnung 3⁴ = 81. Dieser Normalteiler kann somit weder die ganze Gruppe G sein, noch kann er nur aus dem neutralen Element bestehen. G ist also nicht einfach.

Literatur

• Kurt Meyberg: Algebra - Teil 1. Hanser 1980, ISBN 3-446-13079-9, S. 69-77
• Michael Holz: Repetitorium der Algebra. Binomi 2005, ISBN 3-923923-44-9, S. 251-263

Weblinks

 Wikibooks: Beweis der Sylow-Sätze – Lern- und Lehrmaterialien

• mathematik-netz.de: Gruppen-Operationen und die Sylow-Sätze - Beispiele und Beweise.