Ordnungsstatistik

In der Statistik werden die der Größe nach geordneten Realisationen einer Stichprobe aus einer stetigen Zufallsvariablen X als Ordnungsstatistik bezeichnet. Aus einer Realisation $x_1, x_2, \ldots, x_n$ erhält man so die geordnete Stichprobe $X_{(1)}, X_{(2)}, \ldots, X_{(n)}$ mit den Werten $x_{(1)}, x_{(2)}, \ldots, x_{(n)}$. X_(i) ist als die i-te geordnete Statistik definiert.

Eigenschaften

Die geordneten Statistiken X_(i) sind stochastisch abhängig und nicht identisch verteilt.

Verteilung der Ordnungsstatistiken

Für die Verteilungsfunktion der i-ten Ordnungsstatistik gilt

$F_{X_{(i)}}(y) = \sum_{j=i}^n \binom{n}{j} F(y)^j \left( 1 - F(y) \right)^{n-j}, \quad y \in \R,\ 1 \leq i \leq n,\ F = F_X.$

Wichtige Spezialfälle der Verteilung ergeben sich für das Minimum (i = 1) und Maximum (i = n) als

$F_{X_{(1)}}(y) = 1 - \left( 1 - F(y) \right)^n \text{ bzw.}$

$F_{X_{(n)}}(y) = \left( F(y) \right)^n.$

Anwendung

In der nichtparametrischen Statistik lassen sich Rangstatistiken oder empirische Verteilungsfunktionen durch Ordnungsstatistiken ausdrücken. Zudem können aus Ordnungsstatistiken schwach konsistente Schätzer für Quantile abgeleitet werden. Weiter lassen sich durch oben genannte Verteilung über Faltungen und Transformationssätze die Verteilung von wichtigen Maßzahlen wie dem Median oder der Spannweite gewinnen.

Literatur

• Herbert Büning und Götz Trenkler: Nichtparametrische statistische Methoden. 2. Auflage, de Gruyter, Berlin und New York 1994, ISBN 3-11-014105-1