Transformationssatz

Der Transformationssatz (auch Transformationsformel) beschreibt in der Analysis das Verhalten von Integralen unter Koordinatentransformationen. Es ist somit die Verallgemeinerung der Integration durch Substitution auf Funktionen höherer Dimensionen. Der Transformationssatz wird als Hilfsmittel bei der Berechnung von Integralen verwendet, wenn sich das Integral nach Überführung in ein anderes Koordinatensystem leichter berechnen lässt.

Formulierung des Satzes

Es sei $\Omega \subset \mathbb{R}^d$ eine offene Menge und $\Phi\colon \Omega \to \Phi(\Omega) \subset \mathbb{R}^d$ ein Diffeomorphismus. Dann ist die Funktion f auf Φ(Ω) genau dann integrierbar, wenn die Funktion $x \mapsto f(\Phi(x)) \left|\det(D\Phi(x))\right|$ auf Ω integrierbar ist. In diesem Fall gilt:

$\int_{\Phi(\Omega)} f(y)\, \mathrm{d}y = \int_\Omega f(\Phi(x)) \left|\det(D\Phi(x))\right| \mathrm{d}x$.

Dabei ist DΦ(x) die Jacobi-Matrix und det(DΦ(x)) die Funktionaldeterminante von Φ.

Der Beweis läuft darauf hinaus, Eigenschaften einer solchen Transformation zu zeigen, die mit denen übereinstimmen, welche die Determinante eindeutig definieren. Er beruht auf den folgenden Spezialfällen:

Spezialfälle

• Wählt man für f die konstante Funktion 1, so stellt die linke Seite der Formel einfach das Volumen der Bildmenge Φ(Ω) dar.

  $\operatorname{vol}(\Phi(\Omega)) = \int_\Omega \left|\det(D\Phi(x))\right| \mathrm{d}x$

• Ist außerdem die Abbildung Φ linear oder affin, Φ(x) = Ax + b, wobei A eine $d \times d$-Matrix ist und $b \in \R^d$, so ist DΦ(x) = A. Somit gilt

  $\operatorname{vol}(\Phi(\Omega)) = \left|\det (A)\right| \cdot \operatorname{vol}(\Omega)$

Allgemeinere Form

Bei den Voraussetzungen des Transformationssatzes kann man die Bedingungen, dass die Abbildung Φ ein Diffeomorphismus ist, abschwächen:

• Sie braucht nicht stetig differenzierbar zu sein. Es genügt, wenn sie lokal lipschitz-stetig ist. In diesem Fall ist sie fast überall differenzierbar und die Funktionaldeterminante ist lokal beschränkt und lokal integrierbar.
• Sie braucht nicht injektiv zu sein. Es genügt, wenn diese Eigenschaft fast überall gilt.
• Die Funktionaldeterminante darf auch den Wert null annehmen.

Beispiel

Um zu zeigen, dass das Integral über die Gauß-Glocke

$\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\mathrm e^{-\frac12\big(\frac{x-\mu}\sigma\big)^2}$

gleich 1 ist, genügt es, die Aussage

$\left(\int_{-\infty}^\infty\mathrm e^{-x^2} \, \mathrm dx \right)^2 = \int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty\mathrm e^{-x^2-y^2}\,\mathrm dx\,\mathrm dy=\pi$

zu beweisen. Da die Funktion $f(x,y)=\mathrm e^{-x^2-y^2} = \mathrm e^{-r^2}$ rotationssymmetrisch ist, liegt die Berechnung des Integrals in Polarkoordinaten statt kartesischen Koordinaten nahe:

Es sei $\Omega=\mathbb R_{>0}\times(0,2\pi)$ und

$\Phi\colon\Omega\to\mathbb R^2,\quad(r,\varphi)\mapsto(r\cos\varphi,r\sin\varphi).$

Dann ist die Funktionaldeterminante

$\det D\Phi(r,\varphi)=\begin{vmatrix}\cos\varphi & -r\sin\varphi \\ \sin\varphi & r\cos\varphi\end{vmatrix}=r(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)=r.$

Das Komplement von $\Phi(\Omega)\subset\mathbb R^2$ ist eine Nullmenge, mit $f(x,y)=\mathrm e^{-x^2-y^2}$ ergibt sich also

$\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty\mathrm e^{-x^2-y^2}\,\mathrm dx\,\mathrm dy$

${} = \int_{\Phi(\Omega)}\mathrm e^{-x^2-y^2}\,\mathrm dx\,\mathrm dy$

${} = \int_\Omega\mathrm e^{-(r\cos\varphi)^2-(r\sin\varphi)^2}\cdot \det D\Phi(r,\varphi)\,\mathrm dr\,\mathrm d\varphi$

${} = \int_\Omega\mathrm e^{-r^2}\cdot r\,\mathrm dr\,\mathrm d\varphi$

${} = \int_0^{2\pi}\int_0^\infty r\mathrm e^{-r^2}\,\mathrm dr\,\mathrm d\varphi$

${} = \int_0^{2\pi}\frac12\cdot\mathrm d\varphi = \pi.\,$

Die Auswertung des inneren Integrals in der vorletzten Zeile kann beispielsweise durch eine Substitution t = r² begründet werden.

Literatur

• Otto Forster: Analysis 3. Integralrechnung im Rⁿ mit Anwendungen. 3. Aufl. Vieweg-Verlag, 1996. ISBN 3-528-27252-X
• Konrad Königsberger: Analysis 2, Springer, Berlin 2004.