Verteilungsfunktion

Eine (kumulative) Verteilungsfunktion ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine Funktion, die die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer reellen Zufallsvariable beschreibt. Alle die Zufallsvariable betreffenden Wahrscheinlichkeiten lassen sich mit Hilfe der Verteilungsfunktion auswerten.

In der Regel spricht man einfach von einer Verteilungsfunktion. Die explizite Kennzeichnung als kumulativ kann helfen, Verwechslungen mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion oder Dichtefunktion zu vermeiden.

Die Verteilungsfunktion ist eine der grundlegenden Begriffsbildungen der Wahrscheinlichkeitstheorie, wenngleich in neuerer Literatur der Fokus stärker auf Verteilungen selbst liegt.

Definition

Auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,Σ,P) wird die Verteilungsfunktion einer reellen Zufallsvariablen :$X\colon \ \Omega \to\R$ meist als diejenige Funktion $F_X \colon \R \to \R$ definiert, die angibt, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallsvariable einen Wert kleiner oder gleich x annimmt:^[1]

$F_X(x) = P(X \le x) = P(\{X \le x\}) = P\left(\lbrace\omega\in\Omega\mid X(\omega )\leq x\rbrace\right),\ x\in\R.$

Neben der meist verwendeten Notation $P(X \le x)$ werden auch weitere Notationen wie $P\{X \le x\}, P[X\le x]$ und $Pr[X\le x]$ verwendet.

Wenn klar ist, bezüglich welcher Zufallsvariablen die Verteilungsfunktion definiert ist, so wird diese mit F(x) angegeben.

Gelegentlich findet sich auch eine leicht abweichende Definition, siehe den Abschnitt alternative Definition.

Eine Erweiterung der Definition auf mehrdimensionale Zufallsvariablen ist möglich, jedoch aufwendig.

Eigenschaften von Verteilungsfunktionen und Zusammenhang zur Verteilung

Verteilungsfunktion der Chi-Quadrat-Verteilung mit 3 Freiheitsgraden

Jede Verteilungsfunktion $F\colon\R\rightarrow [0,1]$ hat folgende Eigenschaften:

1. F ist monoton steigend.
2. F ist rechtsseitig stetig.
3. $\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0$ und $\lim_{x \to \infty} F(x) = 1$.

Darüber hinaus ist jede Funktion $F\colon\R\rightarrow [0,1]$, die die Eigenschaften 1-3 erfüllt, eine Verteilungsfunktion, folglich ist eine Charakterisierung der Verteilungsfunktion mit Hilfe der drei Eigenschaften möglich. So gibt es zu jeder Verteilungsfunktion $F\colon\mathbb{R}\rightarrow [0,1]$ genau eine Verteilung $\mu_F\colon\mathcal{B}(\mathbb{R})\to[0,1]$, sodass für alle $x\in\mathbb{R}$ gilt:

$\mu_F\left(]-\infty,x]\right)=F(x)$

Andersherum gibt es zu jeder Verteilung $\mu\colon\mathcal{B}(\mathbb{R})\to[0,1]$ eine Verteilungsfunktion $F_\mu\colon\mathbb{R}\rightarrow [0,1]$, sodass für alle $x\in\mathbb{R}$ gilt:

$\mu\left(]-\infty,x]\right)=F_\mu(x)$

Daraus folgt die Korrespondenz von $\mu_{(F_\mu)}=\mu$ und $F_{(\mu_F)}=F$. Dieser Sachverhalt wird in der Literatur auch Korrespondenzsatz genannt.^[2]

Jede Verteilungsfunktion besitzt höchstens abzählbar viele Sprungstellen.

Da jede Verteilungsfunktion rechtsstetig ist, existiert auch der rechtsseitige Grenzwert und es gilt für alle $x\in\mathbb{R}$:

$\mu_F[\{x\}]=F(x)-\lim_{\varepsilon\to0+}F(x-\varepsilon)$

Deswegen ist F genau dann stetig, wenn für alle $x\in\mathbb{R}:\mu(\{x\})=0$ gilt.

Rechnen mit Verteilungsfunktionen

Ist von einer Zufallsvariablen die Verteilungsfunktion bekannt, so kann man die Wahrscheinlichkeit berechnen, mit der die Zufallsvariable Werte zwischen zwei reellen Zahlen annimmt:

$P(a<X \leq b) = P(X \leq b) - P(X \leq a) = F(b) - F(a)$

Beispiel

Beim Würfeln errechnet sich die Wahrscheinlichkeit, eine Zahl zwischen 3 und einschließlich 5 zu würfeln, zu

$P(2 < X \leq 5) = F(5) - F(2) = {5 \over 6} - {2 \over 6} = {3 \over 6} = {1 \over 2}$.

Überlebenswahrscheinlichkeit

Beschreibt die Verteilungsfunktion F(t) die Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines Defektes in einem System zum Zeitpunkt t, dann erhält man die Wahrscheinlichkeit für das einwandfreie Funktionieren (Überleben) über t hinaus

$P(X>t) = 1 - F(t)\, ,$

wobei X den Zeitpunkt des Defektes (oder Todes) bezeichnet.

Bezieht man sich nicht auf den Zeitpunkt 0, sondern auf einen späteren Zeitpunkt t₀ > 0, dann erhält man die bedingte Überlebenswahrscheinlichkeit

$P\left(X>t_0+t\mid X>t_0\right) = \frac{1-F\left(t_0+t\right)}{1 - F\left(t_0\right)}$.

Mit der Beziehung für die Überlebenswahrscheinlichkeit ergibt sich sofort eine Beziehung für die Restlebensdauer

$\begin{align} F\left(t+t_0\mid t_0\right) & = P\left(X\leq t+t_0\mid X>t_0\right)\\ &= \frac{P\left(X\leq t+t_0\right)-P\left(X\leq t_0\right)}{P(X>t_0)}\\ &= \frac{F\left(t+t_0\right)-F\left(t_0\right)}{1-F\left(t_0\right)} \end{align}$

Weiteres

• Verteilungsfunktionen können zur Definition der Konvergenz in Verteilung verwendet werden und spielen bei der Inversionsmethode eine Rolle.
• Durch die Folge der relativen Summenhäufigkeiten wird die empirische Verteilungsfunktion bestimmt.
• Falls die Verteilungsfunktion absolut stetig ist, nennt man ihre Ableitung die Dichtefunktion der Verteilung oder Zufallsvariable.

Alternative Definition

Gelegentlich wird in der Literatur die Verteilungsfunktion in der Tradition von Kolmogorow mit echt-kleiner statt mit kleiner-gleich definiert,^[3] also

$F(x) = P(X < x),\quad x\in\R$

Bei stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen stimmen beide Definitionen überein; bei diskreten Verteilungen unterscheiden sie sich darin, dass bei der „echt-kleiner“-Definition die Verteilungsfunktion an den Sprungstellen nicht rechtsseitig, sondern linksseitig stetig ist. Beispielsweise ergibt sich für die Binomialverteilung die Verteilungsfunktion bei der „kleiner-gleich“-Definition als

$P(X \le x) = \sum_{k=0}^{\lfloor x \rfloor}{n \choose k}p^k (1-p)^{n-k}$,

bei der „echt-kleiner“-Definition hingegen als

$P(X < x) = \sum_{k=0}^{\lceil x-1 \rceil}{n \choose k}p^k (1-p)^{n-k}$.

Im Prinzip sind aber beide Definitionen gleichwertig.

Siehe auch

• Quantil
• Liste univariater Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Literatur

• Schmidt, Klaus D.: Maß und Wahrscheinlichkeit, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2009, ISBN: 978-3-540-89729-3
• Klenke, Achim: Wahrscheinlichkeitstheorie, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2008, ISBN: 978-3-540-76317-8

Einzelnachweise

1. ↑ Robert B. Ash: Real Analysis and Probability. Academic Press, New York 1972. ISBN 0-12-065201-3. Definition 5.6.2.
2. ↑ Schmitz, N Vorlesungen über Wahrscheinlichkeitstheorie, Teubner, 1996
3. ↑ z.B. Marek Fisz: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Elfte Auflage, Berlin 1989, Definition 2.2.1, Seite 51.