Panjer-Algorithmus

Die Panjer Rekursion (oder auch Panjer-Algorithmus) ist ein Algorithmus um die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer speziellen zusammengesetzten Zufallsvariable

$S := \sum_{i=1}^N X_i := \sum_{n=0}^{\infty} \chi_{\{\omega \in \Omega | N(\omega) = n\}}\sum_{i=1}^n X_i$

zu berechnen. Wobei N und X_i Zufallsvariablen sind, welche ein kollektives Modell bilden und χ die charakteristische Funktion bezeichnet.

Der Algorithmus wurde in einem Paper von Harry Panjer erstmals veröffentlicht ^[1]. Er wird im Aktuariat häufig benutzt.

Vorbedingungen

Wir sind an der speziellen zusammengesetzten Zufallsvariablen $S = \sum_{i=1}^N X_i$ interessiert, wobei N und X_i die folgenden Vorbedingungen erfüllen müssen:

Schadenanzahlverteilung

N "Schadenanzahlverteilung", d.h. $N \in \mathbb{N}_0$. $N\,$ ist unabhängig von $X_i\,$.

Weiterhin muss N ein Element der Panjer Klasse sein. Die Panjer Klasse besteht aus allen Zähl-Zufallsvariablen, welche die folgende Relation erfüllen: $p_k= \left(a + \frac{b}{k}\right) \cdot p_{k-1},~~k \ge 1.$ für a und b mit $a+b \ge 0$. der Wert $p_0\,$ wird so bestimmt, dass $\sum_{k=0}^\infty p_k = 1.$

Sundt bewies im Paper ^[2] dass nur die Binomialverteilung, die Poisson-Verteilung und die Negative Binomialverteilung in der Panjer Klasse liegen. Sie haben die Parameter und Werte wie in der folgenden Tabelle beschrieben, wobei $W_N(x)\,$ die Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion beschreibt.

Verteilung	P[N = k]	a	b	p0	WN(x)	E[N]	Var(N)
Binomial	$\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$	$\frac{p}{p-1}$	$\frac{p(n+1)}{1-p}$	$(1-p)^n\,$	$(px+(1-p))^{n}\,$	$np\,$	$np(1-p)\,$
Poisson	$e^{-\lambda}\frac{ \lambda^k}{k!}$	$0\,$	$\lambda \,$	$e^{- \lambda}\,$	$e^{\lambda(x-1)}\,$	$\lambda \,$	$\lambda\,$
Negative Binomial	$\frac{\Gamma(r+k)}{k!\,\Gamma(r)}\,p^r\,(1-p)^k$	$1-p\,$	$(1-p)(r-1)\,$	$p^r\,$	$\left( \frac{p}{1 - x(1-p)}\right) ^r \,$	$\frac{r(1-p)}{p} \,$	$\frac{r(1-p)}{p^2} \,$

Einzelschadenverteilung

Wir nehmen an, dass $X_i\,$ gleich verteilte unabhängige Zufallsvariablen sind welche unabhängig von $N\,$ sind. Weiterhin muss $X_i\,$ auf einem Gitter $h \mathbb{N}_0$ mit Gitterlänge $h>0\,$ verteilt sein.

$f_k = P[X_i = hk].\,$

Rekursion

Der Algorithmus gibt eine Rekursion um die Wahrscheinlichkeiten $g_k =P[S = hk]\,$ zu berechnen.

Der Startwert ist: $g_0 = W_N(f_0)\,$

mit den Spezialfällen

$g_0=p_0\cdot \exp(f_0 b)\text{ für }a = 0,\,$

und

$g_0=\frac{p_0}{(1-f_0a)^{1+b/a}}\text{ für }a \ne 0,$

die nachfolgenden Werte können folgendermaßen berechnet werden:

$g_k=P[S = hk] = \frac{1}{1-f_0a}\sum_{j=1}^k \left( a+\frac{b\cdot j}{k} \right) \cdot f_j \cdot g_{k-j}.$

Beispiel

Das Beispiel zeigt die approximierte Dichtefunktion von $\scriptstyle S \,=\, \sum_{i=1}^N X_i$ wobei $\scriptstyle N\, \sim\, \text{NegBin}(3.5,0.3)$ und $\scriptstyle X \,\sim \,\text{Frechet}(1.7,1)$. Die Einzelschadenverteilung wurde mit einer Gitterbreite h = 0.04. diskretisiert (Siehe auch Fréchetverteilung.)

Literatur

• Schmidt, Klaus D.: Versicherungsmathematik, Springer Dodrecht Heidelberg London New York 2009, ISBN: 978-3-642-01175-7

Siehe auch

• Panjer-Verteilung

Referenzen

1. ↑ Harry H. Panjer: Recursive evaluation of a family of compound distributions.. (PDF) In: International Actuarial Association (Hrsg.): ASTIN Bulletin. 12, Nr. 1, 1981, S. 22–26.
2. ↑ B. Sundt and W. S. Jewell: Further results on recursive evaluation of compound distributions. (PDF) In: International Actuarial Association (Hrsg.): ASTIN Bulletin. 12, Nr. 1, 1981, S. 27–39.