Parallelenproblem

Das Parallelenaxiom ist ein viel diskutierter Grundsatz der euklidischen Geometrie. In einer häufig gebrauchten auf John Playfair zurückgehenden Formulierung besagt es:

In einer Ebene α gibt es zu jeder Geraden g und jedem Punkt S außerhalb von g genau eine Gerade, die zu g parallel ist und durch den Punkt S geht.

Diese Gerade heißt die Parallele zu g durch den Punkt S. Zwei Parallele in dieser Ebene haben keinen gemeinsamen Punkt.

Schnittpunkt S von h und k.

In den Elementen des Euklid findet sich dieser Satz als das fünfte Postulat (Parallelenpostulat) in folgender Formulierung: „Gefordert soll sein: …dass, wenn eine gerade Linie [g] beim Schnitt mit zwei geraden Linien [h und k] bewirkt, dass innen auf derselben Seite entstehende Winkel [α und β] zusammen kleiner als zwei Rechte werden, dann die zwei geraden Linien [h und k] bei Verlängerung ins Unendliche sich treffen auf der Seite [von g], auf der die Winkel [α und β] liegen, die zusammen kleiner als zwei Rechte sind.“

Dies besagt in moderner Formulierung, dass es zu jeder Geraden g und jedem Punkt S nicht mehr als eine Parallele zu g durch S geben kann. Dass es mindestens eine solche Parallele gibt, lässt sich aber aus den übrigen Postulaten und Axiomen des Euklid beweisen, sodass die eingangs angegebene Formulierung gerechtfertigt ist.

Geschichte

Dieses Postulat sticht durch seine Länge und Kompliziertheit aus den anderen Postulaten und Axiomen deutlich hervor. Es wurde schon im Altertum als „Makel“ in der Theorie des Euklid empfunden. Immer wieder gab es Versuche, es aus den anderen herzuleiten und damit zu zeigen, dass es für die Definition der euklidischen Geometrie entbehrlich ist. Historisch ist diese Aufgabe als das Parallelenproblem bekannt. Sie blieb über 2000 Jahre lang ungelöst. Erfolglose Versuche gab es zum Beispiel von

Archimedes (3. Jahrhundert v. Chr.) Poseidonius (2./1. Jahrhundert v. Chr.) Ptolemäus (2. Jahrhundert) Proklos (5. Jahrhundert) Thabit ibn Qurra (9. Jahrhundert)

Nasir Al-din al-Tusi (13. Jahrhundert) Giovanni Alfonso Borelli (17. Jahrhundert) John Wallis (17. Jahrhundert) Johann Heinrich Lambert (18. Jahrhundert) Adrien-Marie Legendre (18./19. Jahrhundert)

Carl Friedrich Gauß erkannte als erster, dass das Parallelenproblem grundsätzlich unlösbar ist; er veröffentlichte seine Erkenntnisse aber nicht.

Nichteuklidische Geometrie

Dies tat Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski, indem er 1826 eine neuartige Geometrie vorstellte, in der alle übrigen Axiome der euklidischen Geometrie gelten, das Parallelenaxiom jedoch nicht. Sie wird als lobatschewskische Geometrie oder hyperbolische Geometrie bezeichnet. Janos Bolyai gelangte unabhängig davon fast gleichzeitig zu ähnlichen Resultaten.

So kam es zur Entwicklung der nichteuklidischen Geometrien, bei denen das Postulat entweder ganz gestrichen oder durch andere ersetzt wurde. Zum Teil verletzen nichteuklidische Geometrien außer dem Parallelenaxiom auch noch andere Axiome der euklidischen Geometrie.

Äquivalente Formulierungen

Es wurden auch eine Reihe von Aussagen gefunden, die äquivalent zum Parallelenpostulat sind:

• „Die Winkelsumme im Dreieck beträgt zwei Rechte (180°).“ (vgl. Giovanni Gerolamo Saccheri)
• „Es gibt Rechtecke.“
• „Zu jedem Dreieck gibt es ein ähnliches Dreieck beliebiger Größe“ (John Wallis).
• „Stufenwinkel an Parallelen sind kongruent“
• „Durch einen Punkt im Inneren eines Winkels gibt es stets eine Gerade, die die beiden Schenkel schneidet.“
• „Durch drei nicht auf einer Geraden liegende Punkte gibt es einen Kreis.“ (Farkas Wolfgang Bolyai)
• „Drei Punkte, die auf ein und derselben Seite einer Geraden liegen und zu dieser Geraden kongruente Abstände haben, liegen stets auf einer gemeinsamen Geraden.“

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Parallel Postulate auf MathWorld (englisch)
• Fifth Postulate in der Encyclopaedia of Mathematics