Parallelepiped

Unter einem Parallelepiped (von griechisch επίπεδον epipedon „Fläche“; Synonyme: Spat, Parallelflach, Parallelotop) versteht man einen geometrischen Körper, der von sechs paarweise kongruenten (deckungsgleichen) in parallelen Ebenen liegenden Parallelogrammen begrenzt wird. Die Bezeichnung Spat rührt vom Kalkspat (Calcit, chemisch: CaCO₃) her, dessen Kristalle die Form eines Parallelflachs aufweisen.

Parallelflach

Ein Parallelepiped hat zwölf Kanten, von denen je vier parallel verlaufen und untereinander gleich lang sind. Stellt man drei an einem Eckpunkt zusammentreffende Kanten als Vektoren $\vec a, \vec b, \vec c$ dar, so ergibt sich das Volumen des Parallelflachs aus dem Betrag des Spatproduktes (gemischtes Skalar- und Kreuzprodukt)

Volumen

Das Volumen V ist das Produkt der Grundfläche G und der Parallelepiped-Höhe h, $V = G \cdot h$ mit $G = \left|\vec a \right| \cdot \left|\vec b \right| \cdot \sin \theta$ (mit θ als Winkel zwischen $\vec a$ und $\vec b$) und der Höhe $h = \left| \vec c \right| \cdot \cos \alpha$. Dabei ist α der Winkel zwischen $\vec c$ und der Höhe h.

Das Volumen kann als Determinante einer 3×3-Matrix angesehen werden, welches man auch Spatprodukt nennt.

$V = \left| \det \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{bmatrix} \right|$

Es seien $\alpha=\angle(\vec b, \vec c)$, $\beta=\angle(\vec a,\vec c)$, $\gamma=\angle(\vec a,\vec b)$ die Winkel zwischen den Kanten. Dann ist das Volumen:

$V = \left|\vec a \right|\left|\vec b \right|\left|\vec c \right| \sqrt{1+2\cos(\alpha)\cos(\beta)\cos(\gamma)-\cos^2(\alpha)-\cos^2(\beta)-\cos^2(\gamma)}.$

Der Flächeninhalt der Oberfläche ergibt sich aus der Summe der einzelnen Parallelogrammflächen

$A_O = 2 \cdot \left(\left| \vec a \times \vec b \right|+\left| \vec a \times \vec c \right|+\left| \vec b \times \vec c \right|\right)$.

Anmerkungen

• Quader (alle Winkel 90°) und Rhomboeder (alle Kanten gleich lang) sind Sonderformen des Parallelflachs. Der Würfel vereinigt beide Sonderformen in einer Figur.
• Das Parallelepiped ist ein spezielles (schiefes) Prisma mit einem Parallelogramm als Grundfläche.
• Jedes Parallelepiped ist ein Raumfüller, das heißt der Raum lässt sich mit parallelverschobenen Exemplaren von P so überdecken, dass je zwei unter ihnen höchstens Randpunkte gemein haben.

Verallgemeinerung auf den n-dimensionalen Raum (n > 1)

Die Verallgemeinerung des Parallelepiped in den n-dimensionalen Raum heißt für n > 2 Parallelotop beziehungsweise n-Parallelotop. Das zweidimensionale Analogon des Parallelepiped ist das Parallelogramm.

Definition

Ein n-Parallelotop P ist das Bild des Einheitswürfels E unter einer affinen Abbildung. Der Einheitswürfel Iⁿ ist eine Menge von Punkten, deren Koordinaten einen Wert zwischen 0 und 1 annehmen, das heißt

$I^n := \left\{ (x_1,\dots,x_n) \mid 0 \le x_i \le 1 \right\}\,.$

Das Parallelotop P ist ein konvexes Polytop mit 2ⁿ Ecken. Für m < n sind seine m-dimensionalen Seiten selbst m-dimensionale Parallelotope.

Volumen

Eine affine Abbildung f kann man schreiben als $f(x) = A \cdot x + t$, wobei A die Abbildungsmatrix und t die Verschiebung ist. Das Volumen des Einheitswürfels ist Eins. Um das Volumen des Parallelotops P zu ermitteln, muss also untersucht werden wie stark die affine Abbildung des Volumen verändert. Da ein Volumen unabhängig von einer Verschiebung ist, steckt dieser Wert alleine in der Abbildungsmatrix. Indem man die Determinante dieser Matrix berechnet, erhält man auch den Faktor | det(A) | , um den sich das Volumen ändert. Die Striche $|\cdot|$ bezeichnen hier den Betrag. Multipliziert man diesen Faktor mit dem Volumen des Einheitswürfels, so gilt trivialerweise $|\det(A)| \cdot 1 = |\det(A)|$, daher gilt

$\operatorname{vol}(P) = |\det(A)|$,

wobei A die Abbildungsmatrix der affinen Abbildung ist, die das Parallelotop P definiert.

Literatur

• Konrad Königsberger: Analysis. Band 2. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-20389-3.