Parameterintegrale

Als Parameterintegral wird in der Analysis ein Integral mit einem Parameter bezeichnet. Ein wichtiges Beispiel ist die Gammafunktion.

Definition des Parameterintegrals

Sei $E \subseteq \mathbb{R}^n$ messbar und nicht die leere Menge. Ferner sei $\varnothing \neq D \subseteq \mathbb{R}^n$ und $f : D \times E \to \mathbb{R}$. Für f(x,t) ist $x \in D$ und $t \in E$. f sei bezüglich t integrierbar über E. Dann heißt $F : D \to \mathbb{R}$

$F(x)=\int_E^{} f(x,t)\,\mathrm{d}t$

Parameterintegral mit dem Parameter x.

Beispiel für Parameterintegrale

Die Gammafunktion

$\Gamma(x)=\int_0^\infty t^{x-1} e^{-t}\,\mathrm{d}t.$

Differenzieren des Parameterintegrals

Sind für das Parameterintegral feste Grenzen vorgegeben und sind sowohl f als auch $\partial f/\partial t$ stetig, kann man "unter dem Integral differenzieren":

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int_a^b f(x,t)\,\mathrm{d}x = \int_a^b \frac{\partial}{\partial t}f(x,t)\,\mathrm{d}x\,.$

Leibnizregel für Parameterintegrale

Für die Praxis ist auch relevant, wie man Parameterintegrale mit abhängigen Funktion von t in den Grenzen ableitet. Nach der Leibnizregel geschieht das nach folgendem Verfahren:

Für stetig differenzierbare Funktionen χ, $\varphi$ und f gilt

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int\limits_{\chi(t)}^{\varphi(t)} f(x,t)\mathrm{d}x = \int\limits_{\chi(t)}^{\varphi(t)} f_t(x,t) \mathrm{d}x + f(\varphi(t),t)\varphi'(t) - f(\chi(t),t) \chi'(t)$

oder in Differentialschreibweise nach Leibniz

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int\limits_{\chi(t)}^{\varphi(t)} f(x,t)\mathrm{d}x = \int\limits_{\chi(t)}^{\varphi(t)} \frac{\partial}{\partial t}f(x,t) \mathrm{d}x + f(\varphi(t),t) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\varphi(t) - f(\chi(t),t) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\chi(t).$

Literatur

• Harro Heuser: Analysis 2. 9. Auflage, Teubner, 1995, ISBN 3-51932-232-3, S. 101ff.