Parameterintegral

Als Parameterintegral wird in der Analysis ein Integral mit einem Parameter bezeichnet. Ein wichtiges Beispiel ist die Gammafunktion.

Definition des Parameterintegrals

Sei $(\Omega,\mathcal A,\mu)$ ein Maßraum. Sei $\varnothing \neq X \subseteq \mathbb R^n$, $(E,\Vert\cdot\Vert)$ ein Banachraum und $f : X \times \Omega \to E$. f sei bezüglich $\omega\, \mu-$integrierbar über Ω. Dann heißt $F : X \to E$

$F(x)=\int_\Omega f(x,\omega)\,\mu(\mathrm d\omega)$

Parameterintegral mit dem Parameter x.

Beispiel für Parameterintegrale

Die Gammafunktion

$\Gamma(x)=\int_0^\infty t^{x-1} e^{-t}\,\mathrm dt.$

Stetigkeit von Parameterintegralen

Sei X ein metrischer Raum, $(E,\Vert\cdot\Vert)$ ein Banachraum, $(\Omega, \mathcal A, \mu)$ ein Maßraum. Für eine Abbildung $f \colon U \times \Omega \to E$ gelte

• $f(x,\cdot) \in \mathcal L_1(\Omega,\mu,E)$ für jedes $x \in X$,
• $f(\cdot, \omega) \in C(U,E)$ (also stetig) für $\mu-\text{f.a. } \omega \in \Omega$,
• Es gibt ein $g \in \mathcal L_1(\Omega,\mu,E)$ mit $|f(x,\omega)| \leqslant g(\omega)$ für $(x,\omega) \in U \times \Omega$.

Dann ist

$F \colon X \to E : x \mapsto \int_\Omega f(x,\omega)\mu(\mathrm d\omega)$

wohldefiniert und stetig.

Differenzierbarkeit von Parameterintegralen

Sei $U \subset \mathbb R^d$ offen, $(E,\Vert\cdot\Vert)$ ein Banachraum, $(\Omega, \mathcal A, \mu)$ ein Maßraum. Für eine Abbildung $f : U \times \Omega \to E$ gelte

• $f(u,\cdot) \in \mathcal L_1(\Omega,\mu,E)$ für jedes $u \in U$,
• $f(\cdot, \omega) \in C^1(U,E)$ (also differenzierbar) für $\mu-\text{f.a. }\omega \in \Omega$,
• Es gibt ein $g \in \mathcal L_1(\Omega,\mu,\mathbb R)$ mit $|\partial_u f(u,\omega)| \leqslant g(\omega)$ für $(u,\omega) \in U \times \Omega$.

Dann ist

$F : U \to E : x \mapsto \int_\Omega f(u,\omega)\mu(\mathrm d\omega)$

stetig differenzierbar mit

$\partial_j F(u) = \int_\Omega \frac{\partial}{\partial u^i} f(u,\omega) \mu(\mathrm d\omega), \quad u\in U, \quad 1\leqslant j \leqslant d.$

Merke: $\partial_u \int \cdots = \int \partial_u \cdots$

Leibnizregel für Parameterintegrale

Für die Praxis ist auch relevant, wie man Parameterintegrale mit abhängigen Funktion von ω in den Grenzen ableitet. Nach der Leibnizregel geschieht das nach folgendem Verfahren:

Für stetig differenzierbare Funktionen χ, φ und f gilt

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm d\omega }\int\limits_{\chi(\omega)}^{\varphi(\omega)} f(x,\omega)\mathrm{d}x = \int\limits_{\chi(\omega)}^{\varphi(\omega)} f_\omega(x,\omega) \mathrm{d}x + f(\varphi(\omega),\omega)\varphi'(\omega) - f(\chi(\omega),\omega) \chi'(\omega)$

oder in Differentialschreibweise nach Leibniz

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm d\omega }\int\limits_{\chi(\omega)}^{\varphi(\omega)} f(x,\omega)\mathrm{d}x = \int\limits_{\chi(\omega)}^{\varphi(\omega)} \frac{\partial}{\partial \omega}f(x,\omega) \mathrm{d}x + f(\varphi(\omega),\omega) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm d\omega }\varphi(\omega) - f(\chi(\omega),\omega) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm d\omega }\chi(\omega).$

Herleitung

Man kann diese Regel ganz einfach herleiten, indem man sozusagen wie bei Produkt- als auch bei der Kettenregel vorgeht. In diesem Integral sind drei Funktionen, die von $\omega\,$ abhängen und nach diesen wird einzeln abgeleitet, während die anderen solange festgehalten werden:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm d\omega }\int\limits_{\chi(\omega)}^{\varphi(\omega)} f(x,\omega)\mathrm{d}x = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm d\omega }\int\limits_{\chi}^{\varphi} f(x,\omega)\mathrm{d}x + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm d\omega }\int\limits_{\chi}^{\varphi(\omega)} f(x)\mathrm{d}x + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm d\omega }\int\limits_{\chi(\omega)}^{\varphi} f(x)\mathrm{d}x$

Wie man den ersten Term der rechten Seite ableitet, steht in der Merkregel bei Differenzierbarkeit von Parameterintegralen.

An das ${\varphi(\omega)}\,$ kommt man heran, indem man die Kettenregel anwendet. So wird aus dem zweiten Term der rechten Seite:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm d\omega }\int\limits_{\chi}^{\varphi(\omega)} f(x)\mathrm{d}x =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{\varphi}}\Big({\int\limits_{\chi}^{\varphi} f(x)\mathrm{d}x}\Big) \cdot\frac{\mathrm{d}{\varphi}}{\mathrm d\omega }$

So wird auch nach dem variablen ${\chi(\omega)}\,$ differenziert.

Als Ergebnis erhalten wir einmal die Ableitung des Integrals nach der oberen Grenze multipliziert mit φ'(ω) und zweitens eine nach der unteren Grenze multipliziert mit χ'(ω). Diese Integrale kann man tatsächlich ausrechnen, wie man aus dem Fundamentalsatz der Analysis weiß.

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{\varphi}}{\int\limits_{\chi}^{\varphi} f(x)\mathrm{d}x} =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{\varphi}}\big( F(\varphi)-F(\chi)\big)=f(\varphi)$

und

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{\chi}}{\int\limits_{\chi}^{\varphi} f(x)\mathrm{d}x} =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{\chi}}\big( F(\varphi)-F(\chi)\big)=-f(\chi)$

Alles zusammen führt dann zur Leibnizregel für Parameterintegrale, wie sie oben steht.

Literatur

• Harro Heuser: Analysis 2. 9. Auflage, Teubner, 1995, ISBN 3-51932-232-3, S. 101ff.
• René L. Schilling: Measures, Integrals and Martingales 3. Auflage, Cambridge University Press, 2011, ISBN 978-0-521-61525-9, S. 92ff.