Euler-Mascheroni-Konstante

γ

Die Euler-Mascheroni-Konstante (nach den Mathematikern Leonhard Euler und Lorenzo Mascheroni), auch Eulersche Konstante, ist eine wichtige mathematische Konstante, die mit dem griechischen Buchstaben γ (Gamma) bezeichnet wird.

Die blaue Fläche stellt die Eulersche Konstante dar.

Ihre Definition lautet:

$\gamma = \lim_{n\to\infty} \left(H_n - \ln n\right) = \lim_{n \rightarrow \infty } \left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n) \right)=\int_1^\infty\left({1\over\lfloor x\rfloor}-{1\over x}\right)\,\mathrm dx,$

wobei H_n die Harmonische Reihe bezeichnet.

Ihr numerischer Wert ist auf 100 dezimale Nachkommastellen genau (Folge A001620 in OEIS):

γ = 0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 35988 05767 23488 48677 26777 66467 09369 47063 29174 67495...

Mit Stand vom November 2009, Berechnung abgeschlossen am 13. März 2009, sind 29.844.489.545 dezimale Nachkommastellen bekannt.^[1]

Allgemeines

Trotz großer Anstrengungen ist bis heute unbekannt, ob diese Zahl rational oder irrational, ob sie algebraisch oder transzendent ist.^[2] Es wird aber stark vermutet, dass sie zumindest eine irrationale Zahl ist. Den ersten konkreten Beweisversuch hierzu hat 1926 Paul Émile Appell mit Hilfe der unten genannten Entwicklung von Joseph Ser unternommen.

Im Gegensatz zur Kreiszahl π, die jeweils bei Umfang und Fläche eines Kreises mit rationalem Radius auftritt, ist für die Eulersche Konstante außerhalb der Mathematik kein Beispiel eines direkten Vorkommens bekannt. Es gibt zwar viele praktische Probleme, die auf die Summierung der endlichen harmonischen Reihe H_n führen, wie etwa das Problem der optimalen Sitzreihen-Erhöhung in Theatern und Kinos. Dort handelt es sich aber immer um endlich viele Terme, so dass kein Grenzübergang $n\to\infty$ zustande kommt, der für das Auftreten von γ erforderlich wäre. Beim Kreis, der aus unendlich vielen Punkten gebildet wird, ist ein solcher Grenzprozess bereits enthalten.

Die Euler-Mascheroni-Konstante in mathematischen Problemen

Die eulersche Konstante tritt in der Mathematik sehr häufig und manchmal auch ganz unerwartet in unterschiedlichen Teilgebieten auf. Hauptsächlich tritt sie bei Grenzwertprozessen der Differential- und Integralrechnung auf. Das Auftreten lässt sich (wie auch bei anderen mathematischen Konstanten) so unterteilen:

1. Als Funktionswert oder Grenzwert von Speziellen Funktionen.

Der Wert γ ist die negative Ableitung der Gammafunktion an der Stelle 1, also

$\Gamma ^\prime (1) = \Psi(1) = -\gamma$.

Hieraus folgen die Grenzwertdarstellungen:

$\lim_{s\to 1}\left(\zeta(s)-\frac{1}{s-1}\right) = \gamma$ (hierbei bezeichnet ζ(s) die riemannsche Zeta-Funktion)

$\lim_{z\to 0} \left\{\Gamma(z) - \frac1{z} \right\} = \lim_{z\to 0} \left\{\Psi(z) + \frac1{z} \right\} = -\gamma$

$\lim_{z\to 0} \frac1{z}\left\{\frac1{\Gamma(1+z)} - \frac1{\Gamma(1-z)} \right\} = 2\gamma$

$\lim_{z\to 0} \frac1{z}\left\{\frac1{\Psi(1-z)} - \frac1{\Psi(1+z)} \right\} = \frac{\pi^2}{3\gamma^2}$.

2. In Entwicklungen spezieller Funktionen, z.B. bei der Reihenentwicklung des Integrallogarithmus von Leopold Schendel, der Besselfunktionen oder der Weierstraß'schen Darstellung der Gammafunktion.

3. Integraldarstellungen

Hier gibt es eine reichhaltige Fülle, zum Beispiel:

$\begin{align} \gamma &= -\int_0^1 \ln(-\ln x)\, \mathrm{d}x \\ \gamma &= -\int_0^\infty e^{-x}\ln x\, \mathrm{d}x \\ \gamma &= \int_0^\infty\left(\frac1{e^x-1} - \frac1{xe^x}\right) \mathrm{d}x\\ \gamma &= \int_0^1\left(\frac 1{\ln x} + \frac1{1-x}\right) \mathrm{d}x\\ \gamma &= \frac{1}{2} + 2\int_0^\infty \frac{\sin(\arctan x)}{(e^{2\pi t} - 1)\sqrt{1 + x^2}} \mathrm{d}x \end{align}$

oder auch

$\begin{align} \int_0^\infty e^{-x} \ln^2 x\,\mathrm dx &\;=\; \frac{\pi^2}6 +\gamma^2 \\ \int_0^\infty e^{-x^2} \ln x\,\mathrm dx &\;=\; -\frac{\sqrt\pi}4 (\gamma +2\ln 2) \end{align}$

Es gibt auch sehr viele invariante Parameterintegrale, z.B.:

$\begin{align} \gamma &= \int_0^\infty \left(\frac1{x^k+1} - e^{-x}\right)\frac{\mathrm{d}x}{x},\quad k>0\\ \gamma &= \int_0^\infty \left(\frac1{kx+1} - e^{-kx}\right)\frac{\mathrm{d}x}{x},\quad k>0 \end{align}$

Man kann γ auch als ein Doppelintegral (J. Sondow 2003^[3], 2005^[4]) mit der äquivalenten Reihe ausdrücken:

$\gamma = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{x-1}{(1-x\,y)\ln(x\,y)} \, \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \sum_{n=1}^\infty \left ( \frac{1}{n}-\ln\frac{n+1}{n} \right)$.

Es gibt einen interessanten Vergleich (J. Sondow 2005) des Doppelintegrals und der alternierenden Reihe:

$\ln \left( \frac{4}{\pi} \right) = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{x-1}{(1+x\,y)\ln(x\,y)} \, \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \left(\frac{1}{n}-\ln\frac{n+1}{n} \right)$.

In diesem Sinne kann man sagen, dass $\ln \left ( \frac{4}{\pi} \right )$ die "alternierende eulersche Konstante" ist (Folge A094640 in OEIS).

Außerdem sind diese zwei Konstanten mit dem Paar

$\sum_{n=1}^\infty \frac{N_1(n) + N_0(n)}{2n(2n+1)} = \gamma,$

$\sum_{n=1}^\infty \frac{N_1(n) - N_0(n)}{2n(2n+1)} = \ln \left ( \frac{4}{\pi} \right )$

von Serien verknüpft, wo N₁(n) und N₀(n) die Anzahl der Einsen bzw. der Nullen in die Binärentwicklung von n ist (Sondow 2010 ^[5]).

Ferner gibt es eine ebenso reichhaltige Fülle an unendlichen Summen und Produkten, etwa

$\begin{align} e^\gamma &= \lim_{n\to\infty} \frac 1{\ln n} \prod_{p\le n, p\text{ prim}} \left( 1-\frac 1p \right)^{-1} \\ \frac{6}{\pi^2}e^\gamma &= \lim_{n\to\infty} \frac 1{\ln n} \prod_{p\le n, p\text{ prim}} \left( 1+\frac 1p \right) \\ \gamma &= \lim_{x\to 1^+} \sum_{n=1}^\infty \left(\frac 1{n^x} -\frac 1{x^n} \right) \end{align}$

Die letzte Formel wurde 1998 von Sondow gefunden.^[6]

4. Reihendarstellungen sind im Gegensatz zu π prinzipiell seltener. Als einfachstes Beispiel ergibt sich aus der Grenzwert-Definition:

$\gamma = \sum_{n=1}^\infty \left ( \frac{1}{n}-\ln\frac{n+1}{n} \right)$.

Als Beispiele von Reihen mit rationalen Gliedern sind nur die Reihen von Euler, Giovanni Enrico Eugenio Vacca, S. Ramanujan und Joseph Ser bekannt. An Reihen mit irrationalen Gliedern gibt es unzählige Variationen, deren Glieder aus rational gewichteten Werten der riemannschen Zeta-Funktion an den ungeraden Argumentstellen ζ(3), ζ(5), … bestehen. Ein Beispiel einer besonders schnell konvergierenden Reihe ist:

$\sum_{n=1}^\infty\frac{\zeta(2n+1)-1}{(2n+1)2^{2n}} = 1 + \ln 2 - \ln 3 - \gamma =$ 0,0173192269903…

Eine weitere Reihe ergibt sich aus der Kummerschen Reihe der Gammafunktion:

$\gamma = \ln\pi - 4\ln\Gamma(\tfrac34) + \frac4{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{\ln(2k+1)}{2k+1}$

Bezeichnungen

Man kann sagen, dass die Eulersche Konstante diejenige Konstante mit den meisten Bezeichnungen ist. Euler selbst bezeichnete sie mit C und gelegentlich mit O oder n. Es ist jedoch zweifelhaft, ob er damit ein eigenständiges Symbol für seine Konstante einführen wollte. Mascheroni bezeichnete die Konstante nicht – wie oft behauptet – mit γ, sondern mit A. Das γ-Missverständnis rührt von dem häufig unüberprüft zitierten Artikel von J. W. L. Glaisher her (wobei Glaisher dort ausdrücklich anmerkt, dass er Mascheronis Buch nicht gesehen hat):

„ Euler’s constant (which throughout this note will be called γ after Mascheroni, De Morgan, &c.) [...]
It is clearly convenient that the constant should generally be denoted by the same letter. Euler used C and O for it; Legendre, Lindman, &c., C; De Haan A; and Mascheroni, De Morgan, Boole, &c., have written it γ, which is clearly the most suitable, if it is to have a distinctive letter assigned to it. It has sometimes (as in Crelle, t. 57, p. 128) been quoted as Mascheroni’s constant, but it is evident that Euler’s labours have abundantly justified his claim to its being named after him. “

– Glaisher: On the history of Euler’s constant, 1872, S. 25 und 30^[7]

Andere Mathematiker verwenden die Bezeichnungen C, c, ℭ, H, γ, E, K, M, l. Der Ursprung der heute üblichen Bezeichnung γ ist nicht sicher. Carl Anton Bretschneider verwendete die Bezeichnung γ neben c in einem 1835 entstandenen und 1837 veröffentlichten Artikel,^[8] Augustus De Morgan führte die Bezeichnung γ in einem in Teilen von 1836 bis 1842 veröffentlichten Lehrbuch im Rahmen der Behandlung der Gammafunktion ein.^[9]

Verallgemeinerungen

Die Eulersche Konstante kennt mehrere Verallgemeinerungen. Die wichtigste und bekannteste ist die der Stieltjes-Konstanten:

$\gamma_n := \lim_{N\to\infty} \left(\sum_{k=1}^N\frac{\log^n k}{k} - \frac{\log^{n+1} N}{n+1}\right), \quad n = 0, 1, 2, \ldots$

Berechnete Stellen

1734 berechnete Leonhard Euler sechs Dezimalstellen (fünf gültige), später 16 Stellen (15 gültige). 1790 berechnete Lorenzo Mascheroni 32 Dezimalstellen (30 gültige), wovon jedoch die drei Stellen 20 bis 22 falsch sind – anscheinend aufgrund eines Schreibfehlers, sie sind allerdings mehrfach im Buch angegeben. Der Fehler war Anlass für mehrere Neuberechnungen.

Veröffentlichte Stellen von γ

Jahr	Stellen	Autor
1734	5	Leonhard Euler[10]
1735	15	Leonhard Euler[11]
1790	19	Lorenzo Mascheroni[12]
1809	22	Johann Georg Soldner[13]
1811	22	Carl Friedrich Gauß[14]
1812	40	Friedrich Bernhard Gottfried Nicolai[14]
1826	19	Adrien-Marie Legendre[15]
1857	34	Christian Fredrik Lindman[16]
1861	41	Ludwig Oettinger[17]
1867	49	William Shanks[18]
1871	99	J. W. L. Glaisher[19]
1871	101	William Shanks[20]
1877	262	John Couch Adams[21]
1952	328	John William Wrench, Jr.[22]
1961	1.050	Helmut Fischer & Karl Zeller[23]
1962	1.270	Donald E. Knuth[24]
1962	3.566	Dura W. Sweeney[25]
1973	4.879	William A. Beyer & Michael S. Waterman[26]
1976	20.700	Richard P. Brent[27]
1979	30.100	Richard P. Brent & Edwin M. McMillan[28]
1993	172.000	Jonathan Borwein
1997	1.000.000	Thomas Papanikolaou
1998	7.286.255	Xavier Gourdon
1999	108.000.000	Xavier Gourdon & Patrick Demichel
2009	29.844.489.545	Alexander J. Yee & Raymond Chan

Einzelnachweise

1. ↑ Large Computations von Alexander J. Yee, 7. März 2011 (englisch)
2. ↑ Thomas Jagau: Is the Euler-Mascheroni constant an irrational number?, Question of the Week, 11. Mai 2011 (englisch) in JunQ: Journal of Unresolved Questions
3. ↑ Jonathan Sondow: Criteria for irrationality of Euler's constant,, Proceedings of the American Mathematical Society 131, 2003, S. 3335-3344 (englisch)
4. ↑ Jonathan Sondow: Double integrals for Euler's constant and ln 4/π and an analog of Hadjicostas's formula, American Mathematical Monthly 112, 2005, S. 61-65 (englisch)
5. ↑ Jonathan Sondow: New Vacca-type rational series for Euler's constant and its "alternating" analog ln 4/π, Additive Number Theory, Festschrift In Honor of the Sixtieth Birthday of Melvyn B. Nathanson, Springer, New York, 2010, S. 331-340 (englisch)
6. ↑ Jonathan Sondow: An antisymmetric formula for Euler’s constant, Mathematics Magazine 71, Juni 1998, S. 219–220 (englisch)
7. ↑ J. W. L. Glaisher: On the history of Euler's constant. The Messenger of Mathematics 1, 1872, S. 25–30 (englisch)
8. ↑ Car. Ant. Bretschneider: Theoriae logarithmi integralis lineamenta nova (13. Oktober 1835). Journal für die reine und angewandte Mathematik 17, 1837, S. 257–285 (lateinisch; „γ = c = 0,577215 664901 532860 618112 090082 3..“ auf S. 260)
9. ↑ Augustus De Morgan: The differential and integral calculus, Baldwin and Craddock, London 1836–1842 (englisch; „γ“ auf S. 578)
10. ↑ Leonh. Eulero: De progressionibus harmonicis observationes (11. März 1734), Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae 7, 1740, S. 150–161 (lateinisch; „C=0,577218“ auf S. 157)
11. ↑ Leonh. Eulero: Inventio summae cuiusque seriei ex dato termino generali (13. Oktober 1735), Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae 8, 1741, S. 9–22 (lateinisch; „constans illa addita =0,5772156649015329“ auf S. 19)
12. ↑ Laurentio Mascheronio: Adnotationes ad calculum integralem Euleri/ In quibus nonnulla Problemata ab Eulero proposita resolvuntur. Petrus Galeatius, Ticini 1790–1792 (lateinisch; „A = 0,577215 664901 532860 618112 090082 39“ auf S. 23 und S. 45)
13. ↑ J. Soldner: Théorie et tables d’une nouvelle fonction transcendante, Lindauer, München 1809 (französisch; „H=0,5772156649015328606065“ auf S. 13)
14. ↑ ^{a b} Carolo Friderico Gauss: Disquisitiones generales circa seriem infinitam 1+… Pars I (30. Januar 1812), Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis recentiores 2 (classis mathematicae), 1813, S. 3–46 (lateinisch; „ψ₀=−0,5772156649 0153286060 653“ und „ψ₀=−0,5772156649 0153286060 6512090082 4024310421“ auf S. 36; auch in Gauß: Werke. Band 3, S. 154)
15. ↑ A. M. Legendre: Traité des fonctions elliptiques et des intégrales Eulériennes (Band 2), Huzard-Courcier, Paris 1826, S. 434 (französisch)
16. ↑ Christiano Fr. Lindman: De vero valore constantis, quae in logarithmo integrali occurit, Archiv der Mathematik und Physik 29, 1857, S. 238–240 (lateinisch)
17. ↑ L. Oettinger: Ueber die richtige Werthbestimmung der Constante des Integrallogarithmus (Oktober 1861), Journal für die reine und angewandte Mathematik 60, 1862, S. 375–376
18. ↑ William Shanks: On the calculation of the numerical value of Euler’s constant, which Professor Price, of Oxford, calls E (28. März/9. April/29. August 1867/14. Juni 1869), Proceedings of the Royal Society of London 15, 1867, S. 429–431 431–432; 16, 1868, S. 154; 18, 1870, S. 49 (englisch)
19. ↑ J. W. L. Glaisher: On the calculation of Euler’s constant (6./14. Juni 1871), Proceedings of the Royal Society of London 19, 1871, S. 514–524 (englisch)
20. ↑ William Shanks: On the numerical value of Euler’s constant, and on the summation of the harmonic series employed in obtaining such value (30. August 1871), Proceedings of the Royal Society of London 20, 1872, S. 29–34 (englisch)
21. ↑ J. C. Adams: Note on the value of Euler’s constant; likewise on the values of the Napierian logarithms of 2, 3, 5, 7, and 10, and of the modulus of common logarithms, all carried to 260 places of decimals (6. Dezember 1877), Proceedings of the Royal Society of London 27, 1878, S. 88–94 (englisch)
22. ↑ J. W. Wrench, Jr.: Note 141. A new calculation of Euler’s constant, Mathematical tables and other aids to computation 6, Oktober 1952, S. 255 (englisch)
23. ↑ H. Fischer, K. Zeller: Bernoullische Zahlen und Eulersche Konstante, Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik 41 (Sonderheft), 1961, S. T71–T72 (Zentralblatt-Zusammenfassung)
24. ↑ Donald E. Knuth: Euler’s constant to 1271 places (12. Januar 1962), Mathematics of Computation 16, 1962, S. 275–281 (englisch)
25. ↑ Dura W. Sweeney: On the computation of Euler’s constant (29. Juni 1962), Mathematics of Computation 17, 1963, S. 170–178 (englisch)
26. ↑ W. A. Beyer, M. S. Waterman: Error analysis of a computation of Euler’s constant (26. Juni 1973), Mathematics of Computation 28, 1974, S. 599–604 (englisch)
27. ↑ Richard P. Brent: Computation of the regular continued fraction for Euler’s constant (27. September 1976), Mathematics of Computation 31, 1977, S. 771–777 (englisch)
28. ↑ Richard P. Brent, Edwin M. McMillan: Some new algorithms for high-precision computation of Euler’s constant (22. Januar/15. Mai 1979), Mathematics of Computation 34, 1980, S. 305–312 (englisch)

Literatur

• Steven R. Finch: Euler-Mascheroni constant, γ, Kapitel 1.5 in Mathematical constants, Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-81805-2, S. 28–40 (englisch)
• Julian Havil: Gamma: Eulers Konstante, Primzahlstrände und die Riemannsche Vermutung. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-48495-0.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Euler-Mascheroni Constant. In: MathWorld. (englisch)
• Folge A002852 in OEIS (Kettenbruchentwicklung von γ)
• Folge A053977 in OEIS (Engel-Entwicklung von γ)
• Folge A006284 in OEIS (Pierce-Entwicklung von γ)