Asymptotische Folge

In der Analysis ist eine asymptotische Folge ein Grundbaustein einer asymptotischen Analyse. Die asymptotische Folge definiert den Ansatzraum einer asymptotischen Entwicklung und bestimmt damit die möglichen Ergebnisse der Analyse.

Eine endliche oder unendliche Folge (ϕ_n) von Funktionen auf dem Gebiet Ω heißt asymptotisch für $x \to x_0$, wenn

$\phi_{n+1}(x) = \hbox{o}(\phi_n(x)), \; x \to x_0$,

mit der Landau-Notation. Bei unendlichen Folgen spricht man von einer gleichmäßigen asymptotischen Folge in n, falls ϕ_{n + 1} = o(ϕ_n) gleichmäßig in n gilt, beziehungsweise von einer gleichmäßigen asymptotischen Folge in den Parametern, falls die Folge von einem Parameter $\epsilon$ abhängt und φ_{n + 1} = o(φ_n) gleichmäßig in den Parametern gilt.

Beispiele

• Die Folge der reellen Funktionen ϕ_n = xⁿ für $x\to 0$.
• Die Folge der reellen Funktionen $\phi_n = x^{-\lambda_n}$ mit λ_{n + 1} > λ_n für $x\to \infty$.

Eigenschaften

Eine Teilfolge einer asymptotischen Folge ist ebenfalls asymptotisch, ebenso liefert das Potenzieren der kompletten Folge mit einer positiven Zahl wieder eine asymptotische Folge.

Literatur

• Erdélyi, A.: Asymptotic Expansions, New York: Dover, 1987.