August-Gleichung

Die Antoine-Gleichung beschreibt den funktionalen Zusammenhang zwischen der Temperatur und dem Sättigungsdampfdruck für reine Stoffe und ist von der Clausius-Clapeyron-Gleichung abgeleitet.

Die Gleichung

Heute gebräuchliche Form

$P = 10^{A-\frac{B}{C+T}}$

oder

$log_{10}\ P = A-\frac{B}{C+T}$

(P: Druck, T: Temperatur in °C, A, B, C anpassbare, stoffspezifische Parameter)

Die vereinfachte Form mit C = 0

$P\ =\ 10^{A-\frac{B}{T}}$

oder

$log_{10}\ P = A - \frac{B}{T}$

heißt August-Gleichung, nach dem deutschen Physiker Ernst Ferdinand August (1795-1870). Sie beschreibt eine rein lineare Beziehung zwischen dem Logarithmus des Drucks und dem Kehrwert der Temperatur, während die Antoine-Gleichung bereits eine Krümmung dieser Kurve beschreiben kann.

Originalgleichung

Antoine verwendete die Form

$log_{10} P\ =\ A \left( D - \frac{1000}{\theta} \right)$

Es zeigt sich, dass mit den Umrechnungen

$\theta\ =\ T + C_{neu}$

$A_{neu}\ =\ A * D$

$B_{neu}\ =\ A * 1000$

die heutzutage verwendete Form der Originalgleichung entspricht.

Mit den für Benzol von Antoine gegebenen Werten A=1,1650, D=5,8524 und C=216 ergibt sich für 80 °C ein Dampfdruck von Benzol zu

$log_{10} P\ =\ 1,1650 \left( 5,8524 - \frac{1000}{80 + 216} \right)$

$P\ =\ 762,5\ mmHg$ und damit annähernd Atmosphärendruck.

Geltungsbereich

Die Antoine-Gleichung kann mit ihren drei Parametern nicht die gesamte Sättigungsdampfdruckkurve zwischen dem Tripelpunkt und dem kritischen Punkt korrekt beschreiben. Daher werden zumeist 2 Parametersätze für eine Komponente verwendet. In der Regel ist dabei ein Parametersatz unterhalb des Normalsiedepunkts gültig und ein zweiter für den Bereich vom Normalsiedepunkt bis zum kritischen Punkt.

Typische Abweichungen einer Parameteranpassung über den gesamten Bereich (experimentelle Daten for Benzol)

Abweichung einer Anpassung der August-Gleichung (2 Parameter)

Abweichung einer Anpassung der Antoine-Gleichung (3 Parameter)

Abweichung einer Anpassung der DIPPR 101-Gleichung (4 Parameter)

Beispiele

	A	B	C	T(min.)	T(max.)
Wasser	8,07131	1730,63	233,426	1	100
Wasser	8,14019	1810,94	244,485	99	374
Ethanol	8,20417	1642,89	230,300	-57	80
Ethanol	7,68117	1332,04	199,200	77	243

[T] = °C, [P] = mmHg

Beispielrechnung

Für Ethanol beträgt der Normalsiedepunkt T_B=78,32 °C. Damit ergibt sich folgende Rechnung:

$P = 10^{8{,}20417 - \frac{1642{,}89}{78{,}32 + 230{,}300}} = 760{,}0\,\mathrm{mmHg}$

$P = 10^{7{,}68117 - \frac{1332{,}04}{78{,}32 + 199{,}200}} = 761{,}0\,\mathrm{mmHg}$

(760 mmHg = 101,325 kPa = 1,000 atm = Normaldruck)

Einheiten

Die Koeffizienten der Antoine-Gleichung werden üblicherweise in mmHg and °C gegeben - auch heute noch, wo das Einheitensystem SI bevorzugt wird und damit die Druckeinheit Pascal und die Temperatureinheit Kelvin. Der Gebrauch der Vor-SI-Einheiten hat ausschließliche historische Gründe und stammt direkt aus Antoines Originalveröffentlichung.

Es ist allerdings einfach, die Antoine-Parameter in andere Druck- und Temperatureinheiten zu konvertieren. Um von Grad Celsius nach Kelvin zu wechseln, genügt es, 273,15 vom C-Parameter zu subtrahieren. Um von Millimeter-Quecksilber zu Pascal zu wechseln, genügt es, den dekadischen Logarithmus des Faktors zwischen den Einheiten zum A-Parameter hinzuzuaddieren:

$A_{Pa} = A_{mmHg} + log_{10}\frac{101325}{760} = A_{mmHg} + 2,124903$

(101325 Pa sind 760 mmHg)

Die Parameter in °C und mmHg für Ethanol

A	B	C
8,20417	1642,89	230,300

werden für K and Pa konvertiert zu

A	B	C
10,32907	1642,89	-42,85

Die erste Beispielrechnung bei T_B = 351,47 K wird zu

$log_{10}P = 10{,}3291 - \frac{1642{,}89}{351{,}47 - 42{,}85} = 101328\,\mathrm{Pa}$

Eine ähnliche einfache Transformation kann benutzt werden, wenn der dekadische gegen den natürlichen Logarithmus ausgetauscht werden soll. Es ist ausreichend, die Parameter A und B mit ln(10) = 2.302585 zu multiplizieren.

Die Beispielrechnung mit den konvertierten Parametern (für K and Pa )

A	B	C
23,7836	3782,89	-42,85

wird zu

$ln P = 23{,}7836 - \frac{3782{,}89}{351{,}47 - 42{,}85} = 101332\,\mathrm{Pa}$

(Die kleinen Differenzen in den Resultaten entstehen ausschließlich durch die benutzte begrenzte Genauigkeit der Koeffizienten.)

Erweiterungen der Gleichung

Um die Limitierungen der Antoine-Gleichung zu umgehen, gibt es einfache Erweiterungen um weitere Terme.

• $P = \exp{\left( A + \frac{B}{C+T} + D \cdot T + E \cdot T^2 + F \cdot \ln \left( T \right) \right)}$

• $P = \exp\left( A + \frac{B}{C+T} + D \cdot \ln \left( T \right) + E \cdot T^F\right)$

Die weiteren Parameter erhöhen die Flexibilität der Gleichungen und erlauben damit die Beschreibung der gesamten Dampfdruckkurve vom Tripelpunkt bis zum kritischen Punkt. Außerdem lassen sich die erweiterten Gleichung auf die ursprüngliche Antoine-Gleichung durch Setzen der weiteren Parameter D, E und F auf 0 reduzieren.

Ein Unterschied zur Originalform ist außerdem, dass die erweiterten Gleichungen die e-Funktion und den natürlichen Logarithmus verwenden. Dies hat jedoch keinen Einfluss auf die Gleichungsform.

Quellen

• NIST Chemistry WebBook
• Dortmunder Datenbank
• Diverse Nachschlagewerke und Veröffentlichungen, bspw.
  • Lange's Handbook of Chemistry, McGraw-Hill Professional
  • Wichterle I., Linek J., „Antoine Vapor Pressure Constants of Pure Compounds“
  • Yaws C. L., Yang H.-C., „To Estimate Vapor Pressure Easily. Antoine Coefficients Relate Vapor Pressure to Temperature for Almost 700 Major Organic Compounds“, Hydrocarbon Processing, 68(10), Seiten 65-68, 1989

Literatur

Antoine C. „Tensions des vapeurs; nouvelle relation entre les tensions et les températures.“, Comptes Rendus des Séances de l'Académie des Sciences, 107, 681-684, 778-780, 836-837; 1888.

Weblinks

• Gallica, gescannter Originalartikel
• NIST Chemistry Web Book
• Verzeichnis von Nachschlagewerken und Datenbanken mit Antoine-Konstanten
• Berechnung des Dampfdrucks mit der Antoine-Gleichung