Primzahlverteilung

Der Primzahlsatz erlaubt eine endliche Abschätzung der Verteilung der Primzahlen. Der Zusammenhang zwischen Primzahlen und Logarithmen wurde bereits von dem 15-jährigen Carl Friedrich Gauß 1793 und unabhängig von ihm durch Adrien-Marie Legendre 1798 vermutet, aber erst 1896 unabhängig von Jacques Salomon Hadamard und Charles-Jean de La Vallée Poussin bewiesen.

Die Primzahlfunktion

Im weiteren sei π(x) die Primzahlfunktion, die für beliebige reelle Zahlen x definiert ist als die Anzahl der Primzahlen $p\leq x$. Formal kann man schreiben:

$\pi (x) = \# \{p \in \mathbb{P} \mid p \le x\}$

Dabei bezeichnet das Symbol $\mathbb{P}$ die Menge der Primzahlen, die Schreibweise $\#M$ steht für die Anzahl der Elemente der Menge M.

Der Primzahlsatz

Der Primzahlsatz besagt:

$\lim_{x \to \infty}\frac{\pi(x)}{\frac{x}{\ln(x)}} = 1.$

Nennt man zwei reelle Funktionen f(x) und g(x) asymptotisch äquivalent, in Formelschreibweise $f(x)\sim g(x)$, wenn der Quotient f(x) / g(x) für $x\to\infty$ gegen 1 konvergiert, so kann man den Primzahlsatz auch so formulieren:

Die Funktionen π(x) und x / lnx sind asymptotisch äquivalent.

Stärkere Formen des Primzahlsatzes

Bessere Approximationen als x / lnx liefert der so genannte europäische Integrallogarithmus, der definiert wird als

$\mathrm{Li}(x) = \int_2^x \frac{\mathrm{d}t}{\ln t}.$

(Die Integraldarstellung für Li(x) wird gewählt, weil die Stammfunktion von 1/ln(x) nicht elementar ist.)

Der Integrallogarithmus ist asymptotisch äquivalent zu x / lnx, also auch zu π(x).

Man kann sogar zeigen:

$\pi(x) = \mathrm{Li}\,x + \mathcal O \left(x \cdot \exp(-C\sqrt{\ln x} )\right)$

mit einer positiven Konstanten C.

$\mathcal{O}(\cdot)$ ist dabei ein Landau-Symbol, d.h., es gibt eine Konstante D, so dass

$\Big|\pi(x)-\mathrm{Li}\,x \Big| \ <\ D\cdot x \cdot \exp \left(-C\sqrt{\ln x} \right)$

für alle x gilt.

Unter Annahme der Riemannschen Vermutung, und nur unter dieser, kann man die Fehlerabschätzung zu

$\pi(x) = \mathrm{Li}\,x + \mathcal O \left(\sqrt{x} \cdot \ln x \right)$

verbessern.

Geschichte

• Legendre veröffentlichte 1798 als erster in seiner Théorie des nombres (Abhandlung über Zahlentheorie) unabhängig den von Gauß vermuteten Zusammenhang zwischen Primzahlen und Logarithmen. In der zweiten Auflage dieses Werks 1808 verbesserte er die Abschätzung der Anzahl der Primzahlen π(x) zu ungefähr gleich

$\frac x{\ln x - 1{,}08366}.$

• Tschebyschow zeigte 1851 die folgende schwächere Form des Primzahlsatzes:

$0{,}92929 \le \frac{\pi(x)}{\frac{x}{\ln(x)}} \le 1{,}1056$

für alle hinreichend großen x.

• In seiner berühmten Arbeit Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe (1859) hat Bernhard Riemann den Zusammenhang zwischen der Verteilung der Primzahlen und den Eigenschaften der Riemannschen Zetafunktion aufgezeigt. Später wurde bewiesen, dass der Primzahlsatz dem Satz äquivalent ist, dass die riemannsche Zetafunktion keine Nullstellen mit Realteil 1 hat.

• Sowohl Hadamard als auch de la Vallée Poussin haben 1896 die Nichtexistenz solcher Nullstellen bewiesen. Ihre Beweise des Primzahlsatzes sind also nicht „elementar“, sondern verwenden funktionentheoretische Methoden.

• Lange Jahre galt ein elementarer Beweis des Primzahlsatzes für unmöglich, was 1949 durch die von Atle Selberg und Paul Erdős gefundenen Beweise widerlegt wurde (wobei „elementar“ hier keineswegs „einfach“ bedeutet). Später wurden noch zahlreiche Varianten und Vereinfachungen dieser Beweise gefunden.

Zahlenbeispiele

Darstellung von π(x), x / ln(x) und Li(x)

Die folgende Tabelle zeigt konkrete Werte des Primzahlsatzes im Vergleich mit den Logarithmen, Legendres Formel sowie dem Integrallogarithmus.

x	π(x)	π(x) / x	x / ln(x)	π(x)·ln(x) / x	Legendre	Li(x)
10	4	0,400000	4	0,921034	8	6
102	25	0,250000	22	1,151292	28	30
103	168	0,168000	145	1,160503	172	178
104	1.229	0,122900	1.086	1,131951	1.231	1.246
105	9.592	0,095920	8.686	1,104320	9.588	9.630
106	78.498	0,078498	72.382	1,084490	78.543	78.628
107	664.579	0,066458	620.421	1,071175	665.140	664.918
108	5.761.455	0,057615	5.428.681	1,061299	5.768.004	5.762.209
109	50.847.534	0,050848	48.254.942	1,053727	50.917.519	50.849.235
1010	455.052.511	0,045505	434.294.482	1,047797	455.743.004	455.055.615
1011	4.118.054.813	0,041181	3.948.131.654	1,043039	4.124.599.869	4.118.066.401
1012	37.607.912.018	0,037608	36.191.206.825	1,039145	37.668.527.415	37.607.950.281
1013	346.065.536.839	0,034607	334.072.678.387	1,035899	346.621.096.885	346.065.645.810
1014	3.204.941.750.802	0,032049	3.102.103.442.166	1,033151	3.210.012.022.164	3.204.942.065.692
1015	29.844.570.422.669	0,029845	28.952.965.460.217	1,030795	29.890.794.226.982	29.844.571.475.288
1016	279.238.341.033.925	0,027924	271.434.051.189.532	1,028752	279.660.033.612.131	279.238.344.248.557
1017	2.623.557.157.654.233	0,026236	2.554.673.422.960.305	1,026964	2.627.410.589.445.923	2.623.557.165.610.822
1018	24.739.954.287.740.860	0,024740	24.127.471.216.847.324	1,025385	24.775.244.142.175.635	24.739.954.309.690.415
1019	234.057.667.276.344.607	0,023406	228.576.043.106.974.646	1,023982	234.381.646.366.460.804	234.057.667.376.222.382
1020	2.220.819.602.560.918.840	0,022208	2.171.472.409.516.259.138	1,022725	2.223.801.523.570.829.204	2.220.819.602.783.663.484
1021	21.127.269.486.018.731.928	0,021127	20.680.689.614.440.563.222	1,021594	21.154.786.057.670.023.133	21.127.269.486.616.126.182
1022	201.467.286.689.315.906.290	0,020147	197.406.582.683.296.285.296	1,020570	201.721.849.105.666.574.218	201.467.286.691.248.261.498
1023	1.925.320.391.606.803.968.923	0,019253	1.888.236.877.840.225.337.614	1,019639	1.927.681.221.597.738.628.080	1.925.320.391.614.054.155.139

Die Größe π(x) / x heißt Primzahldichte.

Vergleicht man Li(x) mit den Werten von π(x) in der Tabelle, scheint es so, als ob stets Li(x) > π(x) gelten würde. Tatsächlich wechselt die Differenz Li(x) − π(x) bei größer werdendem x das Vorzeichen unendlich oft, wie J. E. Littlewood 1914 zeigen konnte. Die gaußsche Formel unterschätzt also die Anzahl der Primzahlen in einem hinreichend großen Zahlenbereich, den Stanley Skewes 1933 mit der nach ihm benannten Skewes-Zahl nach oben abschätzen konnte.

Literatur

• E. Freitag, R. Busam: Funktionentheorie. 3. Aufl., Springer-Verlag, Berlin 2000. ISBN 3540676414
• G. H. Hardy, E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, 5. Auflage, Oxford University Press, Oxford 1979. ISBN 0198531710

Weblinks

• Beweis des Primzahlsatzes im Beweisarchiv
• How Many Primes Are There? (englisch)

Einzelnachweise