Primzahlvierling

Primzahlvierlinge bestehen aus zwei Primzahlzwillingspaaren im Abstand 4, das heißt aus vier Primzahlen der Form p, p+2, p+6, p+8. Anders ausgedrückt: Zwischen den beiden Primzahlzwillingspaaren liegen genau drei Zahlen, welche alle zusammengesetzt (nicht prim) sind. Die kleinsten Primzahlvierlinge sind (5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109) und (191, 193, 197, 199).

Mit einer Ausnahme (5, 7, 11, 13) lässt sich jedes Quadrupel auch in der Form (15n-4, 15n-2, 15n+2, 15n+4) schreiben. Die Zahl in der Mitte ist daher immer durch 15 teilbar und die Summe der Primzahlen des Quadrupels ist immer durch 60 teilbar. Die Zahlen enden im Dezimalsystem also immer auf 1, 3, 7 und 9.

Ebenso lässt sich jedes Quadrupel entweder als (210n+101, 210n+103, 210n+107, 210n+109), (210n±11, 210n±13, 210n±17, 210n±19) oder als (210n±191, 210n±193, 210n±197, 210n±199) schreiben.

Es ist unbekannt, ob es unendlich viele Primzahlvierlinge gibt. Eine Voraussetzung für unendlich viele Primzahlvierlinge ist die Existenz unendlich vieler Primzahlzwillinge; ob diese Bedingung erfüllt ist, ist ebenfalls nicht bekannt.

Gemäß der Hardy-Littlewood-Vermutung ist die Anzahl der Primzahlvierlinge kleiner als x asymptotisch durch die Formel

$C_4 \int_2^x\!\frac{\mathrm dt}{(\ln t)^4} \qquad\text{ mit }\qquad C_4 = \frac{27}{2} \prod_{p>4\atop p\;\text{prim}} \frac{p^3 (p-4)}{(p-1)^4} = 4{,}15118\text{ }08632\text{ }37415\text{ }75716...$

(Folge A061642 in OEIS) gegeben.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Prime Quadruplet. In: MathWorld. (englisch)
• Die größten bekannten Primzahlvierlinge (englisch)