Projektive Auflösung

Im mathematischen Gebiet der Kategorientheorie ist eine projektive Auflösung eine lange exakte Sequenz aus projektiven Objekten, die in einem gegebenen Objekt endet.

Definition

Formal sei C eine abelsche Kategorie (oder auch die Kategorie Grp der Gruppen) und A ein Objekt aus C. Dann heißt eine lange exakte Sequenz der Form

$\cdots\rightarrow P_2\rightarrow P_1\rightarrow P_0\rightarrow A\rightarrow 0$

projektive Auflösung von A, wenn sämtliche P_i projektiv sind.

Existenz

Ist in der abelschen Kategorie C jedes Objekt Quotient eines projektiven Objektes, d. h. gibt es zu jedem Objekt $X\in \operatorname{Ob}(C)$ einen Epimorphismus $P\rightarrow X$, in dem P projektiv ist, so sagt man auch, C besitze genügend viele projektive Objekte.

Unter diesen Bedingungen gibt es auch zu jedem Objekt A eine projektive Auflösung. Zunächst existiert nämlich nach Voraussetzung ein Epimorphismus $p_0\colon P_0\rightarrow A$, dann weiter ein Epimorphismus $p_1\colon P_1\rightarrow \operatorname{ker}(p_0)$ auf den Kern dieses Morphismus und dann per Induktion jeweils weiter $p_{n+1}\colon P_{n+1}\rightarrow \operatorname{ker}(p_n)$.

Eigenschaften

Ist

$\cdots\rightarrow P_2\rightarrow P_1\rightarrow P_0\rightarrow A\rightarrow 0$

eine projektive Auflösung und

$\cdots\rightarrow A'_2\rightarrow A'_1\rightarrow A'_0\rightarrow A'\rightarrow 0$

exakt, so lässt sich jeder C-Homomorphismus $f:A\rightarrow A'$ (nicht notwendigerweise eindeutig) zu einem kommutativen Diagramm

$\begin{matrix} \cdots\rightarrow & P_2 & \rightarrow & P_1 & \rightarrow & P_0 & \rightarrow & A & \rightarrow 0 \\ \cdots & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ \cdots\rightarrow & A'_2 & \rightarrow & A'_1 & \rightarrow & A'_0 & \rightarrow & A' & \rightarrow 0 \end{matrix}$

ergänzen.

Siehe auch

• Der duale Begriff ist der der injektiven Auflösung.
• Eine Anwendung finden projektive Auflösungen in der Berechnung abgeleiteter Funktoren.