Erblichkeit (Mathematik)

In der Mathematik liefert die Länge einer projektiven Auflösung eines Moduls über einem Ring R in einem gewissen Sinne ein Maß dafür, wie „kompliziert“ der Modul ist.

Ein Ring R heißt erblich, wenn jeder Untermodul eines projektiven R-Moduls projektiv ist. D.h., jede minimale projektive Auflösung eines Moduls stoppt bereits nach zwei Schritten.

Bei nicht-kommutativen Ringen unterscheidet man zwischen Links- und Rechtserblichkeit: Ein Ring R heißt links-erblich, wenn jeder Untermodul eines projektiven R-Linksmoduls projektiv ist. Entsprechend heißt ein Ring R rechts-erblich, wenn jeder Untermodul eines projektiven R-Rechtsmoduls projektiv ist. Es gibt Ringe, die links-, aber nicht rechts-erblich sind, und umgekehrt.

Beispiele

• Jeder Körper K ist erblich, da alle K-Moduln (= K-Vektorräume) frei und damit projektiv sind.
• Jeder halbeinfache Ring ist erblich, da jeder Modul über dem Ring projektiv ist.
• Jeder Hauptidealring ist erblich, da hier projektive Moduln frei sind und Untermoduln freier Moduln ebenfalls frei.
• Jede Wegealgebra eines Köchers ist erblich.