Quadratisches Reziprozitätsgesetz

Das Quadratische Reziprozitätsgesetz gibt, zusammen mit den beiden unten genannten Ergänzungssätzen, ein Verfahren an, um das Legendre-Symbol zu berechnen und damit zu entscheiden, ob eine Zahl ein quadratischer Rest oder ein quadratischer Nichtrest ist. Die Entdeckung des quadratischen Reziprozitätsgesetzes durch Euler und der Beweis durch Gauß waren die Ausgangspunkte der Entwicklung der modernen Zahlentheorie. Obwohl es elementare Beweise des Reziprozitätsgesetzes gibt, liegt der wahre Grund des Reziprozitätsgesetzes in der Primfaktorzerlegung im Körper $\mathbb{Q}(\zeta)$ der n-ten Einheitswurzeln verborgen.

Das Quadratische Reziprozitätsgesetz besagt, dass für zwei verschiedene ungerade Primzahlen p und q gilt:

$\left(\frac{p}{q}\right)\left(\frac{q}{p}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}=\left\{\begin{matrix}-1&\mbox{wenn}&p\equiv q\equiv3 \pmod 4\\1&\mbox{sonst}&\end{matrix}\right.$

1. Ergänzungssatz: Für eine ungerade Primzahl p gilt:

$\left(\frac{-1}{p}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}}=\left\{\begin{matrix}1&\mbox{falls}&p\equiv 1\pmod 4\\-1&\mbox{sonst}&\mbox{(also }p\equiv-1\pmod4\mbox{)}&\end{matrix}\right.$

2. Ergänzungssatz: Für eine ungerade Primzahl p gilt:

$\left(\frac{2}{p}\right)=(-1)^{\frac{p^2-1}{8}}=\left\{\begin{matrix}1&\mbox{falls}&p\equiv \pm1\pmod 8\\-1&\mbox{sonst}&\mbox{(also }p\equiv\pm3\pmod8\mbox{)}&\end{matrix}\right.$

Rechenregeln

Sind p und q zwei verschiedene ungerade Primzahlen, so gilt:

$\Big(\frac{p}{q}\Big)=\begin{cases}-\big(\frac{q}{p}\big)&\mathrm{wenn}\ p\equiv q\equiv3 \pmod 4\\[,5em]\big(\frac{q}{p}\big)&\mbox{sonst}\end{cases}$

Da $\Big(\frac{p}{q}\Big)\in\{\pm1\}$ folgt nämlich $\Big(\frac{p}{q}\Big)^{-1}=\Big(\frac{p}{q}\Big)$

Beispiele

• Man möchte entscheiden, ob die Gleichung

$x^2\equiv10\pmod{13}$

eine Lösung besitzt. Dazu berechnet man

$\left(\frac{10}{13}\right)=\left(\frac{2}{13}\right)\left(\frac{5}{13}\right)$ (das Legendre-Symbol ist multiplikativ im Zähler)

Der erste Faktor lässt sich mit Hilfe des zweiten Ergänzungssatzes zu -1 bestimmen. Um den zweiten Faktor zu berechnen, wendet man das Reziprozitätsgesetz an:

$\left(\frac{5}{13}\right)=\left(\frac{13}{5}\right) =\left(\frac{3}{5}\right) =\left(\frac{5}{3}\right) =\left(\frac{2}{3}\right) =-1$

Hier wurde beim zweiten Gleichheitszeichen ausgenutzt, dass $13\equiv3\pmod{5}$. Analog auch beim vorletzten Gleichheitszeichen.

Setzt man nun beide Faktoren zusammen, so ergibt sich

$\left(\frac{10}{13}\right)=1,$

und damit weiß man, dass die obige Gleichung eine Lösung besitzt. (Die beiden Lösungen lauten 6 und 7.)

• Man möchte entscheiden, ob die Gleichung

$x^2\equiv57\pmod{127}$

eine Lösung besitzt. Dazu berechnet man wieder

$\left(\frac{57}{127}\right)=\left(\frac{3}{127}\right)\left(\frac{19}{127}\right)$

und kann wie oben die beiden Faktoren mit dem Reziprozitätsgesetz weiter vereinfachen:

$\left(\frac{3}{127}\right) =(-1)\left(\frac{127}{3}\right) =(-1)\left(\frac{1}{3}\right) =-1$

und

$\left(\frac{19}{127}\right) =(-1)\left(\frac{127}{19}\right) =(-1)\left(\frac{13}{19}\right) =(-1)\left(\frac{19}{13}\right) =(-1)\left(\frac{6}{13}\right)$

$=(-1)\left(\frac{2}{13}\right)\left(\frac{3}{13}\right) =(-1)(-1)\left(\frac{13}{3}\right) =(-1)(-1)\left(\frac{1}{3}\right) =1$

Setzt man alles zusammen, so ergibt sich

$\left(\frac{57}{127}\right)=-1$

und damit die Erkenntnis, dass die obige Gleichung keine Lösung besitzt.

Effiziente Berechnung des Legendre-Symbols

Der hier aufgezeigte Berechnungsweg besitzt den Nachteil, die Primfaktorzerlegung des Zählers des Legendre-Symbols bestimmen zu müssen. Es gibt ein effizienteres Verfahren, das ähnlich wie der Euklidsche Algorithmus abläuft und ohne Primfaktorisierung auskommt. Dabei wird das Jacobi-Symbol, eine Verallgemeinerung des Legendre-Symbols, benutzt, für das das quadratische Reziprozitätsgesetz immer noch gültig ist.

Weblinks

 Wikiversity: Ein Beweis des quadratischen Reziprozitätgesetzes – Kursmaterialien, Forschungsprojekte und wissenschaftlicher Austausch

Literatur

• http://www.rzuser.uni-heidelberg.de/~hb3/rec.html