Quantenfehlerkorrektur

Quantenfehlerkorrektur wird in der Quanteninformatik benutzt um Quanteninformation von Fehlern infolge von Dekohärenz und Quantenrauschen zu schützen. Quantenfehlerkorrekturen sind grundlegend beim Ausführen von fehlertoleranten Quantenberechnungen, welche nicht nur Störungen in gespeicherter Quanteninformation beheben, sondern auch fehlerhafte Quantengatter, sowie auch fehlerhafte Messungen.

Allgemeines

Die klassische Fehlerkorrektur verwendet Redundanz. Der einfachste Weg ist, die Information mehrfach zu speichern, und wenn diese Kopien sich später unterscheiden, die Mehrheit auszuwählen. Angenommen wir kopieren ein Bit dreimal. Wir nehmen weiter an, dass eine Störung den Zustand der drei Bits so verändert, dass ein Bit den Wert Null annimmt aber die anderen beiden den Wert Eins. Wir setzen auch voraus, dass Störungen unabhängig sind und mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit p auftreten. Es ist sehr wahrscheinlich, dass der Fehler bei einem Bit liegt und die gesendete Nachricht drei Einsen enthält. Es besteht auch eine Wahrscheinlichkeit, dass ein Doppelfehler auftritt und die gesendete Nachricht drei Nullen enthält, aber dieses Ergebnis ist weniger wahrscheinlich als das erste.

Quanteninformation zu kopieren, ist laut dem No-Cloning-Theorem nicht möglich und stellt daher ein Hindernis zur Formulierung einer Theorie der Quantenfehlerkorrektur dar. Aber es ist möglich, die Information von einem Qubit auf ein verschränktes System von mehreren Qubits zu übertragen. Peter Shor entdeckte als Erster diese Methode, indem er einen Code zur Quantenfehlerkorrektur entwickelte, der die Information von einem Qubit auf ein verschränktes System von neun Qubits übertrug. Ein Code, basierend auf Quantenfehlerkorrektur schützt Quanteninformation gegen Fehler von begrenzter Form.

Klassische fehlerkorrigiernde Codes verwenden eine Syndrom-Messung um festzustellen, welcher Fehler einen verschlüsselten Zustand zerstört. Wir machen dann einen Fehler rückgängig, indem wir eine korrigierende Operation, basierend auf dem Syndrom, anwenden. Quantenfehlerkorrektur verwendet auch Syndrom-Messung. Wir führen eine Messung an mehreren Qubits aus, welche nicht die Quanteninformation in einem verschlüsselten Zustand stört, aber Information über den Fehler abruft. Eine Syndrom-Messung kann bestimmen ob ein Qubit beschädigt wurde, und wenn ja, welches beschädigt wurde. Darüber hinaus sagt uns das Ergebnis der Operation nicht nur welches physikalische Qubit betroffen war, sondern auch, auf welchen der möglichen Wege es betroffen war. Letzteres ist auf den ersten Blick nicht eingängig: Da Störungen willkürlich auftreten, wie kann die Folge von Störung nur eine von wenigen verschiedenen Möglichkeiten sein? In den meisten Codes ist das Ergebnis entweder eine Umkehrung des Bits, oder eine Umkehrung des Vorzeichens (der Phase), oder beides (gemäß der Paulimatrizen X, Z, und Y). Der Grund ist, dass eine Messung des Syndroms den projektiven Effekt einer Quantenmessung hat. Also selbst wenn der Fehler infolge der Störung beliebig war, kann er als Superposition (Physik) von einfachen Operationen ausgedrückt werden—der Ursprung des Fehlers (welcher hier durch die Paulimatrizen und die Identität gegeben ist). Die Syndrom-Messung "zwingt" das Qubit sich für einen speziellen "Pauli-Fehler" zu "entscheiden", und die Messung sagt uns welchen. Jetzt können wir denselben Pauli-Operator wieder auf das betroffene Qubit anwenden, um den Effekt des Fehlers zurückkehren.

Die Syndrom-Messung sagt uns soviel wie möglich über den ereigneten Fehler, aber überhaupt nichts über den Wert der im Qubit gespeichert ist —anders würde die Messung jegliche Superposition des Qubits und anderer Qubits im Quantencomputer zerstören

Der Bit Flip Code

Der Seriencode funktioniert in einem klassischen Kanal, weil Qubits leicht zu messen und wiederherzustellen sind, aber in einen Quantenkanal ist es nicht mehr möglich, aufgrund des No-Cloning-Theorems, welches die Erzeugung von identischen Kopien eines beliebigen Quantenzustandes verbietet. Ein einzelnes Qubit kann somit nicht dreimal kopiert werden wie im oberen Beispiel, und jegliche Messung würde Information im Qubit verändern. Dennoch gibt es für Quantencomputer eine andere Methode, welche 3 Qubit Bit Flip Code genannt wird. Diese Methode benutzt Verschränkung und Syndrom-Messung, und erreicht gleiche Ergebnisse wie der Seriencode. Wir nehmen ein Qubit $|\psi\rangle = \alpha_0|0\rangle + \alpha_1|1\rangle$. Der erste Schritt des 3 Qubit Bit Flip Code ist das Qubit mit zwei anderen Qubits mithilfe von zwei CNOT-Gatter mit Eingang $|0\rangle$^[1]. zu verschränken

Quantenschaltung des Bit Flip Code

Das Ergebnis sieht folgendermaßen aus: $|\psi'\rangle= \alpha_0 |000\rangle + \alpha_1|111\rangle.$ Dies ist nur ein Tensorprodukt von drei Qubits, und verschieden vom Klonen eines Zustands. Jetzt werden diese Qubits durch separate gleichkonstruierte Kanäle geschickt. Jetzt wurde zum Beispiel im ersten Kanal das Qubit umgekehrt, und das Ergebnis würde folgendermaßen aussehen: $|\psi'_r\rangle=\alpha_0|100\rangle + \alpha_1|011\rangle$. Um die Umkehrung bei irgendeinem der drei möglichen Qubits festzustellen, benötigt man eine Syndromdiagnose, welche vier Projektionsoperatoren beinhaltet:

$P_0=|000\rangle\langle000|+|111\rangle\langle111|$

$P_1=|100\rangle\langle100|+|011\rangle\langle011|$

$P_2=|010\rangle\langle010|+|101\rangle\langle101|$

$P_3=|001\rangle\langle001|+|110\rangle\langle110|$

Diese können erhalten werden durch:

$\langle \psi'_r|P_0|\psi'_r\rangle = 0$

$\langle \psi'_r|P_1|\psi'_r\rangle = 1$

$\langle \psi'_r|P_2|\psi'_r\rangle = 0$

$\langle \psi'_r|P_3|\psi'_r\rangle = 0$

So weiß man, dass das Fehler-Syndrom zu P₁ korrespondiert. Dieser 3 Qubit Bit Flip Code kann einen Fehler korrigieren, wenn ein Bit-Flip-Fehler im Kanal auftritt. Er ist wie eine Funktion eines 3-Bit-Seriencodes in klassischen Computern.

Der Sign Flip Code

Quantenschaltung des Sign Flip Codes

Der Bit Flip ist die einzige Art von Fehler in klassischen Computern, aber ein weiterer möglicher Fehler in Quantencomputern. Dies ist der Sign Flip Code. Durch die Übertragung in einem Kanal kann das Vorzeichen zwischen $|0\rangle$ und $|1\rangle$ ebenfalls umgekehrt werden. Zum Beispiel ein Qubit im Zustand $|-\rangle=(|0\rangle-|1\rangle)/\sqrt{2}$ möge durch Umkehrung des Vorzeichens in $|+\rangle=(|0\rangle+|1\rangle)/\sqrt{2}$ umgewandelt werden.

Der Originalzustand des Qubits

$|\psi\rangle = \alpha_0|+\rangle+\alpha_1|-\rangle$

wird in den Zustand

$|\psi'\rangle = \alpha_0|+++\rangle+\alpha_1|---\rangle.$

umgewandelt.

Die Verbesserung des Fehlers nach dem Sign Flip Code ist identisch mit dem Bit Flip Code.

Der Shor Code

Quantenschaltung des Shor Codes

Der Fehlerkorrektur-Code auf Kanäle angewandt, möge entweder das Bit umkehren oder das Vorzeichen umkehren. Es ist ebenso möglich beide Codes in einem Code zu kombinieren. Der Shor Code ist nur eine Methode, welche beliebige Qubit-Fehler korrigieren kann.

Das erste, vierte und siebte Qubit sind für den Sign Flip Code, während die dreier Gruppen (1,2,3), (4,5,6), und (7,8,9) für den Bit Flip Code ausgelegt sind. Mit dem Shor Code wird der Zustand eines Qubits $|\psi\rangle=\alpha_0|0\rangle+\alpha_1|1\rangle$ in ein Produkt von 9 Qubits $|\psi'\rangle=\alpha_0|0_S\rangle+\alpha_1|1_S\rangle$ transformiert, wobei

$|0_S\rangle=(|000000000\rangle+|000000111\rangle+|000111000\rangle+|000111111\rangle+|111000000\rangle+|111000111\rangle+|111111000\rangle+|111111111\rangle)/\sqrt{8}$

$|1_S\rangle=(|000000000\rangle-|000000111\rangle-|000111000\rangle+|000111111\rangle-|111000000\rangle+|111000111\rangle+|111111000\rangle-|111111111\rangle)/\sqrt{8}$

Wenn ein Bit-Flip-Fehler an einem Qubit auftritt, wird eine Syndrom-Analyse an jeder Gruppe von Zuständen (1,2,3), (4,5,6), und (7,8,9), ausgeführt und der Fehler korrigiert.

Wenn die 3-Bit-Flip-Gruppen (1,2,3), (4,5,6), und (7,8,9) als drei Eingänge betrachtet werden, dann kann der Shor-Code-Schaltkreis auf einen Sign Flip Code reduziert werden. Das heißt, der Shor Code auch Sign-Flip-Fehler an einem einzelnen Qubit reparieren^[2].

Der Shor Code kann auch jeden beliebigen Fehler (Bit Flip und Sign Flip) an einem einzelnen Qubit korrigieren. Wenn ein beliebiger Fehler eine beliebige unitäre Transformation U ist, welche an einem Qubit einwirkt

$U|\psi\rangle=|\psi_e\rangle.$

$|\psi\rangle$ ist der Originalzustand des einzelnen Qubits, welches betroffen ist. U kann beschrieben werden in der Form

U = C₀I + C₁σ_x + C₂σ_y + C₃σ_z

wobei C₀,C₁,C₂, und C₃ komplexe Koeffizienten sind, I ist die Identität, und die Paulimatrizen sind gegeben durch

$\sigma_x=\biggl( \begin{matrix} 0&1\\1&0 \end{matrix} \biggr);$

$\sigma_y=\biggl( \begin{matrix} 0&-i\\i&0 \end{matrix} \biggr);$

$\sigma_z=\biggl( \begin{matrix} 1&0\\0&-1 \end{matrix} \biggr)$

Die Paulimatrizen sind eine Gruppe von 2x2 hermiteschen und unitären Matrizen. U ist gleich I, heißt der Zustand ist unverändert. Wenn U = σ_x ist, dann hat sich ein Bit-Flip-Fehler im Kanal ereignet, wenn U = σ_z ist, dann muss sich das Vorzeichen umgekehrt haben, und laut U = iσ_y beides, ein Bit Flip und ein Sign Flip. Dann wird die Fehlerkorrektur wie oben den Fehler korrigieren. Aber der Shor Code funktioniert nur im Falle eines 1-Qubit-Fehlers.

Modelle

Mit der Zeit sind Forscher mit verschiedenen Codemodellen aufgekommen.

• Peter Shors 9-qubit-code, auch bekannt als der Shor Code, verschlüsselt 1 logisches Qubit in 9 physikalische qubits und kann beliebige Fehler an einem einzelnen Qubit korrigieren.
• Andrew Steane fand einen Code der dasselbe mit 7 anstatt 9 Qubits macht, siehe Steane Code.
• Raymond Laflamme fand eine Klasse von 5-Qubit Codes welche dasselbe machen, und welche auch die Eigenschaft besitzen fehlertolerant zu sein.
• Ein Verallgemeinerung dieses Konzepts sind die CSS Codes, benannt nach den Erfindern: A. R. Calderbank, Peter Shor und Andrew Steane. Laut dem Quanten-Hamming-Begrenzung, benötigt die Verschlüsselung eines einzelnen logischen Qubits and einer Möglichkeit für beliebige Fehlerkorrektur in einem einzelnen Qubit ein Minimum von 5 physikalischen Qubits.
• Eine allgemeinere Klasse von Codes sind die stabilizer Codes entdeckt von Daniel Gottesman ([1]), und von A. R. Calderbank, Eric Rains, Peter Shor, und N. J. A. Sloane ([2], [3]); diese werden additive Codes genannt.
• Eine neuere Idee sind Alexei Kitaevs Topologische Qantencodes und die allgemeinere Idee von Topologischen Quantencomputer.

Diese Codes erlauben allerdings Quantencomputing mit beliebiger Länge und ist Inhalt des Grenzwert-Theorems, begründet von Michael Ben-Or und Dorit Aharonov, welches behauptet, dass man alle Fehler korrigieren kann, wenn man Quanten Codes verkettet, wie die CSS Codes, das heißt jedes logische Qubit mit demselben Code wieder verschlüsseln, und so weiter, auf logarithmisch vielen Stufen—"liefert" die Fehlerrate von individuellen Quantengattern unter einem bestimmen Grenzwert; würde man andererseits versuchen die Syndrome zu messen und die Fehler korrigieren, würden mehr neue Fehler einfließen als korrigiert werden.

2004 wurde für diesen Grenzwert geschätzt, dass er 1-3 % hoch sein könnte [4], besagt dass ausreichend viele Qubits vorhanden sind.

Einzelnachweise

1. ↑ Michael A. Nielsen and Isaac L. Chuang: Quantum Computation and Quantum Information. In: Cambridge University Press. 2000.
2. ↑ Peter W.Shor: Scheme for reducing decoherence in quantum computer memory. In: AT&T Bell Laboratories. . Abgerufen am 1995.

Weblinks

• Prospects
• Error-check breakthrough in quantum computing