Reduktionsverfahren von d’Alembert

Das Reduktionsverfahren von d’Alembert ist ein Verfahren aus der Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen. Es wird verwendet, um eine lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung mit nicht-konstanten Koeffizienten unter Kenntnis einer (ggf. geratenen) Lösung des homogenen Problems auf eine lineare Differentialgleichung (n − 1)-ter Ordnung zurückzuführen.

Grob gesagt, gilt Folgendes: Um eine (inhomogene) lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung $\mathcal{L}(y) = f$ zu lösen, beschaffe man sich (auf irgendeine Weise, beispielsweise durch Raten) eine nichttriviale Lösung der zugehörigen homogenen linearen Differentialgleichung $\mathcal{L}(u) = 0$. Dann führt der Ansatz $\ y(x) := c(x)u(x)$ für die ursprüngliche Gleichung $\mathcal{L}(y)=f$ auf eine (inhomogene) lineare Differentialgleichung $\tilde{\mathcal{L}}(c') = f$ der niedrigeren Ordnung n − 1 für $\ c'(x)$.

Formulierung des Satzes

Man betrachte den Differentialoperator n-ter Ordnung

$\mathcal{L}(v)(x) := \sum_{k=0}^na_k(x)v^{(k)}(x)\ .$

Hierzu sei eine Lösung u der homogenen linearen Differentialgleichung

$\mathcal{L}(u) = 0\ .$

bekannt. Für

$\ y(x) := c(x)u(x)$

gilt dann

$\mathcal{L}(y)(x) = \sum_{j=0}^{n-1}\left[\sum_{k=j+1}^n{k \choose {j+1}}a_k(x)u^{(k-j-1)}(x)\right]c^{(j+1)}(x)\ .$

Mit anderen Worten: $\ y$ löst die inhomogene Differentialgleichung n-ter Ordnung $\mathcal{L}(y) = f$ genau dann, wenn

$\ z(x) := c'(x)$

die inhomogene lineare Differentialgleichung (n − 1)-ter Ordnung

$\sum_{j=0}^{n-1}\left[\sum_{k=j+1}^n{k \choose {j+1}}a_k(x)u^{(k-j-1)}(x)\right]z^{(j)}(x) = f(x)$

löst.

Beweis

Nach der leibnizschen Regel gilt

$(c\cdot u)^{(k)}(x) = \sum_{j=0}^k{k \choose j}c^{(j)}(x)u^{(k-j)}(x)\ ,$

also

$\sum_{k=0}^na_k(x)(c\cdot u)^{(k)}(x) = \sum_{k=0}^n\sum_{j=0}^k{k \choose j}a_k(x)c^{(j)}(x)u^{(k-j)}(x) = \sum_{j=0}^n\sum_{k=j}^n{k \choose j}a_k(x)u^{(k-j)}(x)c^{(j)}(x)\ .$

Nun ist nach Voraussetzung $\sum_{k=0}^n{k \choose 0}a_k(x)u^{(k)}(x) = \mathcal{L}(u) = 0$. Somit folgt

$\mathcal{L}(y) = \sum_{k=0}^na_k(x)(c\cdot u)^{(k)}(x) = \sum_{j=1}^n\left[\sum_{k=j}^n{k \choose j}a_k(x)u^{(k-j)}(x)\right]c^{(j)}(x)\ .$

Indexverschiebung liefert $\mathcal{L}(y) = \sum_{j=0}^{n-1}\left[\sum_{k=j+1}^n{k \choose {j+1}}a_k(x)u^{(k-j-1)}(x)\right]c^{(j+1)}(x)$.

$\Box$

Spezialfall: Lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung

Sei u Lösung der homogenen linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung

$\ u''(x) + p(x)u'(x) + q(x)u(x) = 0\ .$

Dann ist

$\ y(x) := c(x)u(x)$

Lösung der (inhomogenen) Differentialgleichung

$\ y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = f(x)$

genau dann, wenn

$\ z(x) := c'(x)$

der Gleichung

$\ u(x)z'(x) + [p(x)u(x) + 2u'(x)]z(x) = f(x)$

genügt. Diese Gleichung lässt sich mit Hilfe der Variation der Konstanten vollständig lösen.