Reeb-Graph

Der Reeb-Graph ist ein topologischer Graph benannt nach dem französischen Mathematiker Georges Reeb (1920-1993). Er hat seinen Ursprung in der Morse-Theorie.

Definition

Sei $\mu:M \rightarrow \mathbb{R}$ eine stetige skalare Funktion über der kompakten Mannigfaltigkeit M. Der Reeb-Graph von M bezüglich μ ist der Quotientenraum von M, der von der Äquivalenzrelation X₁∼X₂ induziert wird. Diese gilt genau dann, wenn

• μ(X₁) = μ(X₂) und
• X₁ und X₂ in derselben Zusammenhangskomponente von μ ^{− 1}(μ(X)) liegen.

Das heißt, Knoten entstehen an Punkten, an denen sich die Topologie von M bezüglich μ ändert. Diese werden auch als kritische Punkte bezeichnet. Kanten signalisieren topologische Stetigkeit im fraglichen Bereich.