Reziprokenregel

Die Reziprokenregel dient zur Ableitung von mathematischen Funktionen der Form

$f(x)=\frac{1}{v(x)}$

Ist die Funktion v(x) von einem Intervall D in die reellen oder komplexen Zahlen an der Stelle x_a mit $v(x_a)\neq 0$ differenzierbar, dann ist auch die Funktion f an der Stelle x_a differenzierbar und es gilt für die Ableitung:

$f'(x_a) = \left[\frac{1}{v}\right]'(x_a) = \left[v^{-1}\right]'(x_a) = (-1)\cdot v^{-2}(x_a) \cdot v'(x_a) = -\frac{v'(x_a)}{(v(x_a))^2}$

Die Reziprokenregel lautet damit wie folgt in Kurzschreibweise:

$\left[\frac{1}{v}\right]' = -\frac{v'}{v^2}$

Die Reziprokenregel ist ein Spezialfall der Quotientenregel mit u(x) = 1.

Beispiel

Die Ableitung der Funktion

$f(x)=\frac{1}{\sin(x)}$

berechnet sich an allen Stellen, an denen $\sin(x) \neq 0$ ist, nach obiger Reziprokenregel zu

$f'(x)=-\frac{\cos(x)}{\sin^{2}(x)}$,

denn die Kosinusfunktion ist die Ableitung der Sinusfunktion.