Intervall (Mathematik)

Als Intervall wird in der Analysis, der Ordnungstopologie und verwandten Gebieten der Mathematik eine „zusammenhängende“ Teilmenge einer total (oder linear) geordneten Trägermenge bezeichnet. Das Intervall besteht aus allen Elementen x, die man mit zwei begrenzenden Elementen des Intervalls, der unteren a und der oberen Grenze des Intervalls b der Größe nach vergleichen kann und die im Sinne dieses Vergleichs zwischen den Grenzen liegen. Dabei können die Grenzen des Intervalls dem Intervall angehören (abgeschlossenes Intervall, $a\leq x\leq b$), nicht angehören (offenes Intervall a < x < b) oder teilweise angehören (halboffenes Intervall).

Zusammenhängend bedeutet hier: Wenn zwei Objekte in der Teilmenge enthalten sind, dann sind auch alle Objekte, die (in der Trägermenge) dazwischen liegen, darin enthalten. Die wichtigsten Beispiele für Trägermengen sind die Mengen der reellen, der rationalen, der ganzen und der natürlichen Zahlen. In den genannten Fällen und allgemeiner immer dann, wenn eine Differenz zwischen zwei Elementen der Trägermenge erklärt ist, bezeichnet man die Differenz zwischen der oberen und unteren Grenze des Intervalls (b − a) als Länge des Intervalls oder kurz Intervalllänge.

Beispiele

In der Menge der natürlichen Zahlen

{5,6,7,8,9}

In diesem Fall einer diskreten Menge sind die Elemente des Intervalls benachbart.

In der Menge der reellen Zahlen

$[0,1] = \{x \in \R \mid 0 \le x \le 1\}$,

die Menge aller Zahlen zwischen 0 und 1, wobei die Endpunkte 0 und 1 mit eingeschlossen sind.

Triviale Beispiele von Intervallen sind die leere Menge und Mengen, die genau ein Element besitzen. Wenn man diese nicht einschließen möchte, dann spricht man von echten Intervallen.

Die Menge {5,6,7,8,9} kann auch als Teilmenge der Trägermenge der reellen Zahlen betrachtet werden. In diesem Fall handelt es sich nicht um ein Intervall, da die Menge zum Beispiel die zwischen 6 und 7 liegenden Bruchzahlen nicht enthält.

Die Trägermenge der reellen Zahlen spielt insofern eine Sonderrolle unter den genannten Trägermengen für Intervalle, als sie ordnungsvollständig ist (s. a. Dedekindscher Schnitt). Intervalle sind in diesem Fall genau die im Sinne der Topologie zusammenhängenden Teilmengen.

Bezeichnungs- und Schreibweisen

Ein Intervall kann (beidseitig) beschränkt sein oder – auch einseitig – unbeschränkt. Es ist durch seine untere und seine obere Intervallgrenze eindeutig bestimmt, wenn zusätzlich angegeben wird, ob diese Grenzen im Intervall enthalten sind.

Es gibt zwei verschiedene häufig verwendete Intervallschreibweisen. Bei der häufigeren der beiden verwendet man für Grenzen, die zum Intervall gehören, eckige Klammern und runde für Grenzen, die nicht zum Intervall gehören. Bei der anderen Schreibweise werden statt der runden Klammern nach außen gewendete (gespiegelte) eckige verwendet. Im Folgenden werden beide Schreibweisen gezeigt und der Mengenschreibweise gegenübergestellt:

Beschränkte Intervalle

Ein beschränktes Intervall ist abgeschlossen, wenn es beide Grenzen enthält, und offen, wenn beide Grenzen nicht enthalten sind. Ein beschränktes Intervall heißt halboffen, wenn es genau eine der beiden Intervallgrenzen enthält.

abgeschlossenes Intervall

$[a, b] := \{x\in\R \mid a\le x \le b\}$

Das Intervall enthält sowohl a als auch b.

Ein abgeschlossenes und beschränktes Intervall ist eine kompakte Menge. Ist umgekehrt ein Intervall kompakt, so ist es abgeschlossen und beschränkt.

offenes Intervall

$(a,b) = {]a, b[} := \{x \in\R \mid a<x<b\}$

Das Intervall enthält weder a noch b.

halboffenes (genauer rechtsoffenes) Intervall

$[a,b) = {[a, b[} := \{x \in\R \mid a \le x<b\}$

Das Intervall enthält a, aber nicht b.

halboffenes (genauer linksoffenes) Intervall

$(a,b] = {]a, b]} := \{x \in\R \mid a < x \le b\}$

Das Intervall enthält nicht a, wohl aber b.

Unbeschränkte Intervalle

Wenn auf einer Seite die Intervallgrenze fehlt, es dort also keine Schranke geben soll, spricht man von einem (auf dieser Seite) unbeschränkten Intervall. Meist werden hierfür die bekannten Symbole $-\infty$ und $\infty$ als „Ersatz“-Intervallgrenzen verwendet, die selbst nie zum Intervall gehören (weshalb die Schreibung mit runder Klammer). In mancher Literatur werden beschränkte Intervalle auch als eigentlich, unbeschränkte als uneigentlich bezeichnet.

linksseitig unendliches abgeschlossenes Intervall

$(-\infty, b] = {]{-\infty, b}]} := \{x \in \R \mid x \le b\}$

Es enthält alle Zahlen die kleiner oder gleich b sind.

linksseitig unendliches offenes Intervall

$(-\infty, b) = {]{-\infty, b}[} := \{x \in \R \mid x < b\}$

Es enthält alle Zahlen die kleiner als b sind.

rechtsseitig unendliches abgeschlossenes Intervall

$[a, \infty) = {[{a, \infty}[} := \{x \in \R \mid a \le x\}$.

Es enthält alle Zahlen, die größer oder gleich a sind.

rechtsseitig unendliches offenes Intervall

$(a, \infty) = {]{a, \infty}[} := \{x \in \R \mid a < x\}$.

Es enthält alle Zahlen, die größer als a sind.

beidseitig unendliches offenes (und zugleich abgeschlossenes) Intervall

$(-\infty, \infty) = {]{-\infty, \infty}[} := \R$

Es enthält alle Zahlen zwischen $-\infty$ und $+\infty$. Dies entspricht den reellen Zahlen ($\R$).

Bei obiger Definition wird übrigens nicht $a\leq b$ gefordert, sodass für a > b jedes Intervall leer ist. Daneben existieren auch je nach Anwendung Definitionen, die solche Intervalle nicht erlauben oder im Falle a > b einfach die Grenzen vertauschen.

Zur Vermeidung von Verwechslungen mit dem Dezimalkomma wird als Trennzeichen auch das Semikolon (;), selten auch ein senkrechter Strich (|) verwendet, z. B.

(0,2,5] = (0;2,5] = (0 | 2,5].

n-dimensionale Intervalle

Analog definiert man für $n \in \N$ im n-dimensionalen Raum $\R^n$ ein beliebiges n-dimensionales Intervall (Quader)

$I := I_1 \times \cdots \times I_n$ mit beliebigen Intervallen $I_1, \dots, I_n \subseteq \R.$

Beschränkte Intervalle

Es seien nun $a, b \in \R^n$ mit $a = (a_1, \dots, a_n)$ und $b = (b_1, \dots, b_n)$, dann gilt speziell:

abgeschlossenes Intervall

$[a, b] := \{(x_1, \dots, x_n) \in \R^n \mid a_1 \le x_1 \le b_1, \dots, a_n \le x_n \le b_n\}.$

offenes Intervall

$(a, b) = {]{a, b}[} := \{(x_1, \dots, x_n) \in \R^n \mid a_1 < x_1 < b_1, \dots, a_n < x_n < b_n\}.$

halboffenes (genauer rechtsoffenes) Intervall

$[a, b) = {[{a, b}[} := \{(x_1, \dots, x_n) \in \R^n \mid a_1 \le x_1 < b_1, \dots, a_n \le x_n < b_n\}.$

halboffenes (genauer linksoffenes) Intervall

$(a, b] = {]{a, b}]} := \{(x_1, \dots, x_n) \in \R^n \mid a_1 < x_1 \le b_1, \dots, a_n < x_n \le b_n\}.$

Verallgemeinerung

In der Topologie sind reelle Intervalle Beispiele für zusammenhängende Mengen. Offene Intervalle sind offene Mengen und abgeschlossene Intervalle sind abgeschlossene Mengen. Halboffene Mengen sind weder offen noch abgeschlossen. Abgeschlossene beschränkte Intervalle sind kompakt.

Alle hier für die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ gemachten Schreibweisen lassen sich direkt auf beliebige total geordnete Mengen übertragen.

Siehe auch

• Intervallschachtelung
• Intervallarithmetik

Literatur

• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis Teil 1. 5. Auflage. Teubner-Verlag, 1988, ISBN 3-519-42221-2.