- Richtung (Mathematik)
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In der Mathematik heißt eine nicht-leere Menge X genau dann gerichtete Menge, wenn auf ihr eine Relation "
" (genannt Richtung) erklärt ist, die folgenden Axiomen genügt:
Um die Richtung hervorzuheben (auf einer Menge können durchaus mehrere Richtungen erklärt sein) nennt man auch das geordnete Paar
gerichtete Menge. Sprechweise für
ist "x vor y" oder auch "y nach x". Unter
versteht man
.
Anschauliche Deutung
Das eigentliche Richtungsaxiom ist (R3). Es erlaubt, an jedem Punkt x der Menge X einen weiteren Punkt z zu finden, der "hinter" x liegt, indem man in (R3) y:=x setzt. Damit kann man in X einen "Kurs" einschlagen: Man wähle einen Punkt x0 aus (ein solcher existiert, da X nicht leer ist). Zu diesem bestimme man durch (R3) mit x=y=x0 einen Punkt x1. Zu diesen beiden bestimme man wieder durch (R3) mit x=x0 und y=x1 einen Punkt x2. Analog bestimme man zu x1 und x2 einen Punkt x3, und man erhält induktiv fortfahrend eine Folge
mit
.
Beispiele
- (Sprechweise: "X ist auf ρ gerichtet", "ρ ist Richtungszentrum von X") Man kann durch diese Richtung den Grenzwert einer Funktion
für
als (Netz)Konvergenz des zugehörigen Netzes auffassen.
Mit Hilfe dieser gerichteten Mengen lassen sich Grenzwerte von Funktionen bzw. Folgen für, ähnlich dem ersten Beispiel, als (Netz)Konvergenzen ihrer zugehörigen Netze auffassen.
Mit dieser Richtung auflässt sich Konvergenz von Doppelfolgen, wiederum als Netzkonvergenz, definieren.
- M eine beliebige nicht-leere Menge und
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