Richtung (Mathematik)

Richtung (Mathematik)

In der Mathematik heißt eine nicht-leere Menge X genau dann gerichtete Menge, wenn auf ihr eine Relation " \triangleleft " (genannt Richtung) erklärt ist, die folgenden Axiomen genügt:


\begin{array}{lll}
  (R1)& \forall x \in X\colon x \triangleleft x & (\mathrm{Reflexivit\ddot at}) \\
  (R2)& \forall x,y,z \in X\colon (x \triangleleft y) \and (y \triangleleft z) \Rightarrow (x \triangleleft z) & (\mathrm{Transitivit\ddot at}) \\
  (R3)& \forall x,y \in X\ \exists z \in X\colon (x \triangleleft z) \and (y \triangleleft z) & (\mbox{Schreibweise: } \mathit{x,y \triangleleft z}) \\
\end{array}

Um die Richtung hervorzuheben (auf einer Menge können durchaus mehrere Richtungen erklärt sein) nennt man auch das geordnete Paar \left(X,\triangleleft \right) gerichtete Menge. Sprechweise für x \triangleleft y ist "x vor y" oder auch "y nach x". Unter y \triangleright x versteht man x \triangleleft y.

Anschauliche Deutung

Das eigentliche Richtungsaxiom ist (R3). Es erlaubt, an jedem Punkt x der Menge X einen weiteren Punkt z zu finden, der "hinter" x liegt, indem man in (R3) y:=x setzt. Damit kann man in X einen "Kurs" einschlagen: Man wähle einen Punkt x0 aus (ein solcher existiert, da X nicht leer ist). Zu diesem bestimme man durch (R3) mit x=y=x0 einen Punkt x1. Zu diesen beiden bestimme man wieder durch (R3) mit x=x0 und y=x1 einen Punkt x2. Analog bestimme man zu x1 und x2 einen Punkt x3, und man erhält induktiv fortfahrend eine Folge (x_n)_{n\in\mathbb{N}} mit x_0 \triangleleft x_1 \triangleleft x_2 \triangleleft \cdots \triangleleft x_k \triangleleft \cdots.

Beispiele

  •  X \subseteq \mathbb{C}^n; \, \rho \in \mathbb{C}^n\ \mathrm{fest}; \, 
     \forall x,y \in X: (x \triangleleft y) :\Leftrightarrow \left\| y - \rho \right\| \le \left\| x - \rho \right\| \quad
(Sprechweise: "X ist auf ρ gerichtet", "ρ ist Richtungszentrum von X") Man kann durch diese Richtung den Grenzwert einer Funktion f: X \to \mathbb{C}^m für x \to \rho als (Netz)Konvergenz des zugehörigen Netzes auffassen.
  •  X = \mathbb{N}; \, \forall n,m \in X: (n \triangleleft m) :\Leftrightarrow n \leq m
  •  X = \mathbb{R}; \, \forall x,y \in X: (x \triangleleft y) :\Leftrightarrow x \leq y
    Mit Hilfe dieser gerichteten Mengen lassen sich Grenzwerte von Funktionen bzw. Folgen für x \mbox{ bzw. } n \to \infty, ähnlich dem ersten Beispiel, als (Netz)Konvergenzen ihrer zugehörigen Netze auffassen.
  •  X = \mathbb{N}^2; \, \forall (n,m),(p,q) \in X: ((n,m) \triangleleft (p,q)) :\Leftrightarrow (n \leq p) \and (m \leq q)
    Mit dieser Richtung auf \mathbb{N}^2 lässt sich Konvergenz von Doppelfolgen, wiederum als Netzkonvergenz, definieren.
  • M eine beliebige nicht-leere Menge und  X = \mathcal{P}(M); \, \forall A, B \in X: (A \triangleleft B) :\Leftrightarrow A \subseteq B

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