Geordnetes Paar

Ein geordnetes Paar besteht aus zwei Angaben nicht notwendig voneinander verschiedener mathematischer Objekte, wobei eines der beiden ausgezeichnet ist. Das ausgezeichnete Objekt wird vordere, erste oder linke Komponente, das andere hintere, zweite oder rechte Komponente des geordneten Paars genannt. Notiert wird ein geordnetes Paar, indem man seine Komponenten, von einem Komma getrennt, hintereinander schreibt und das Ganze in ein geeignetes Klammerpaar, zum Beispiel dem runden, einschließt.

Gleichheit geordneter Paare

Der Begriff des geordneten Paars ist durch Peanos Paaraxiom charakterisiert: Zwei geordnete Paare gelten genau dann als gleich, wenn sowohl ihre ersten als auch ihre zweiten Komponenten gleich sind.^[1]

Darstellung als Menge

In der Literatur finden sich unter anderen folgende Darstellungen geordneter Paare als Mengen, die nur den Mengenbegriff voraussetzen:

Darstellung von (a,b)	Autor	Bemerkung
$\{\{\O,\{a\}\},\{b\}\}$		zum Tupel-Begriff generalisierbare Definition[2]
$\{\{\O,\{a\}\},\{\{b\}\}\}$	Norbert Wiener (1914)[3]
$\{\{a\},\{a,b\}\}\,$ oder $\{\{a,b\},\{b\}\}\,$	Kazimierz Kuratowski (1921)[4]
$\{a,\{a,b\}\}\,$		die so genannte kurze Definition
$\{\{a,\boldsymbol{1}\},\{b,\boldsymbol{2}\}\}$	Felix Hausdorff (1914)[5]	$\boldsymbol{1}$ und $\boldsymbol{2}$ sind voneinander und auch von a und b verschiedene Objekte
${\{\{\{x\}\}\,:\, x \in a\} \,\cup\, \{\mathcal P(x)\,:\, x \in b\}}$	Jürgen Schmidt (1966)[6] in Anlehnung an Quine	mit dieser Definition ist $\,^{(a,b)}$ auch für echte Klassen definiert

Verwendungen

Geordnete Paare sind die elementaren Bausteine vieler komplexer mathematischer Strukturen. Beispielsweise werden Relationen und Funktionen oft als Klassen geordneter Paare definiert^[7].

Literatur

• Felix Hausdorff: Grundzüge der Mengenlehre. Veit & Comp., Leipzig 1914 (Nachdrucke bei Chelsea, New York NY 1949, 1965, 1978).
• Herbert B. Enderton: Elements of Set Theory. Academic Press Inc., New York NY 1977, ISBN 0-12-238440-7.
• Paul R. Halmos: Naive Mengenlehre. 5. Auflage. Vandenhoeck & Ruprecht, 1994, ISBN 3-525-40527-8.
• Heinz-Dieter Ebbinghaus: Einführung in die Mengenlehre. 4. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg u. a. 2003, ISBN 3-8274-1411-3.
• Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre. 2. verbesserte und erweiterte Auflage. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-20401-6.

Quellennachweis

1. ↑ Peano: Logique Mathématique (1897), Formel 71, in: Opere scelte II 224, oben verbalisiert
2. ↑ Encyclopaedia of Mathematics: tuple
3. ↑ van Heijenoort, Jean (1967), From Frege to Gödel: 224ff, Harvard University Press , Cambridge MA, ISBN 0-674-32449-8
4. ↑ Kuratowski: Sur la notion de l‘ordere dans la Théorie des Ensembles, in: Fundamenta Mathemtica II (1921), S. 171
5. ↑ Haussdorf, Grundzüge der Mengenlehre, 1914, S. 32-33
6. ↑ Schmidt, Jürgen (1966), Mengenlehre, Band 1: Grundbegriffe, B I Hochschultaschenbücher, ASIN B0000BUJC6
7. ↑ A. Oberschelp: Allgemeine Mengenlehre. Mannheim–Leipzig–Wien–Zürich 1994: 49ff

Weblinks

 Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Geordnetes Paar – Lern- und Lehrmaterialien