Geordnetes Paar

Geordnetes Paar

Ein geordnetes Paar besteht aus zwei Angaben nicht notwendig voneinander verschiedener mathematischer Objekte, wobei eines der beiden ausgezeichnet ist. Das ausgezeichnete Objekt wird vordere, erste oder linke Komponente, das andere hintere, zweite oder rechte Komponente des geordneten Paars genannt. Notiert wird ein geordnetes Paar, indem man seine Komponenten, von einem Komma getrennt, hintereinander schreibt und das Ganze in ein geeignetes Klammerpaar, zum Beispiel dem runden, einschließt.

Inhaltsverzeichnis

Gleichheit geordneter Paare

Der Begriff des geordneten Paars ist durch Peanos Paaraxiom charakterisiert: Zwei geordnete Paare gelten genau dann als gleich, wenn sowohl ihre ersten als auch ihre zweiten Komponenten gleich sind.[1]

Darstellung als Menge

In der Literatur finden sich unter anderen folgende Darstellungen geordneter Paare als Mengen, die nur den Mengenbegriff voraussetzen:

Darstellung von (a,b) Autor Bemerkung
\{\{\O,\{a\}\},\{b\}\} zum Tupel-Begriff generalisierbare Definition[2]
\{\{\O,\{a\}\},\{\{b\}\}\} Norbert Wiener (1914)[3]
\{\{a\},\{a,b\}\}\, oder \{\{a,b\},\{b\}\}\, Kazimierz Kuratowski (1921)[4]
\{a,\{a,b\}\}\, die so genannte kurze Definition
\{\{a,\boldsymbol{1}\},\{b,\boldsymbol{2}\}\} Felix Hausdorff (1914)[5] \boldsymbol{1} und \boldsymbol{2} sind voneinander und auch von a und b verschiedene Objekte
{\{\{\{x\}\}\,:\, x \in a\} \,\cup\, \{\mathcal P(x)\,:\, x \in b\}} Jürgen Schmidt (1966)[6] in Anlehnung an Quine mit dieser Definition ist \,^{(a,b)} auch für echte Klassen definiert

Verwendungen

Geordnete Paare sind die elementaren Bausteine vieler komplexer mathematischer Strukturen. Beispielsweise werden Relationen und Funktionen oft als Klassen geordneter Paare definiert[7].

Literatur

Quellennachweis

  1. Peano: Logique Mathématique (1897), Formel 71, in: Opere scelte II 224, oben verbalisiert
  2. Encyclopaedia of Mathematics: tuple
  3. van Heijenoort, Jean (1967), From Frege to Gödel: 224ff, Harvard University Press , Cambridge MA, ISBN 0-674-32449-8
  4. Kuratowski: Sur la notion de l‘ordere dans la Théorie des Ensembles, in: Fundamenta Mathemtica II (1921), S. 171
  5. Haussdorf, Grundzüge der Mengenlehre, 1914, S. 32-33
  6. Schmidt, Jürgen (1966), Mengenlehre, Band 1: Grundbegriffe, B I Hochschultaschenbücher, ASIN B0000BUJC6
  7. A. Oberschelp: Allgemeine Mengenlehre. Mannheim–Leipzig–Wien–Zürich 1994: 49ff

Weblinks


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  • geordnetes Paar — geordnetes Paar,   Mathematik: ein Tupel aus zwei Komponenten, also eine die Reihenfolge berücksichtigende Zusammenfassung zweier Objekte …   Universal-Lexikon

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  • Paar — Liebespaar; zwei Menschen; Duo; Gespann (umgangssprachlich); Pärchen * * * paar [pa:ɐ̯]: in der Wendung ein paar: einige wenige; nicht sehr viele: nur ein paar Leute waren gekommen; mit ein paar Worten beschrieb sie den Vorfall. Syn.: einige,… …   Universal-Lexikon

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  • Zahlentripel — Ein geordnetes Tupel, auch einfach nur Tupel genannt, ist eine Erweiterung des Begriffes des mengentheoretisch definierten geordneten Paares (z. B. nach der Definition von Kuratowski). Man definiert ein Tupel der Länge n oder kurz ein n Tupel als …   Deutsch Wikipedia

  • Abbildung (Mathematik) — In der Mathematik ist eine Funktion oder Abbildung eine Beziehung zwischen zwei Mengen, die jedem Element der einen Menge (Eingangsgröße, Funktionsargument, unabhängige Variable, x Wert) ein Element der anderen Menge (Ausgangsgröße, Funktionswert …   Deutsch Wikipedia

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