S-Zahlenfunktion

S-Zahlenfunktion: Eine s-Zahlenfunktion ist eine in der Funktionalanalysis gebräuchliche Abbildung s, die für Banachräume E und F jedem Operator $T\in\mathcal{L}(E,F)$ eine Folge $(s n (T))$ mit folgenden Eigenschaften zuordnet:

Monotonie: $\|T\parallel=s_1(T)\geq s_2(T)\geq...\geq 0,\; T\in \mathcal{L}(E,F)$

Additivität: $s_n(S+T)\leq s_n(S)+\|T\parallel$ für $S,T \in \mathcal{L}(E,F)$

Idealeigenschaft: $s_n(RST)\leq\left\|R\right\|s_n(S)\|T\parallel,\; T\in \mathcal{L}(E_1,E),S\in \mathcal{L}(E,F),R\in \mathcal{L}(F,F_1)$

Rangeigenschaft: $s n (T) = 0$ für $T\in\mathcal{F}(E,F)$ mit $\operatorname{rang}\,T < n$

Normierung: $s_n (id: {l_2}^n \rightarrow {l_2}^n ) =1$

Der Wert $s n (T)$ wird als n-te s-Zahl von T bezeichnet.

Die Approximationszahlen, die Gelfandzahlen, die Kolmogorowzahlen, die Weylzahlen und die Tichomirovzahlen sind additive s-Zahlenfunktionen. Der prominenteste Vertreter der pseudo-s-Zahlenfunktionen sind die Entropiezahlen.^[1]

Literatur

Hermann König: Eigenvalue distribution of compact operators. In: Integral Equations and Operator Theory. 9, Nr. 4, Birkhauser Verlag, Basel-Boston-Stuttgart Juli 1986, ISSN 0378-620X, S. 610-612 (enthält Einführung in die Theorie der s-Zahlen, www.springerlink.com/index/K27205X547780177.pdf).

Einzelnachweise

↑ Albrecht Pietsch: Operator ideals, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaft, 1978

Kategorie:
Funktionalanalysis

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