S-Zahlenfunktion

S-Zahlenfunktion

Eine s-Zahlenfunktion ist eine in der Funktionalanalysis gebräuchliche Abbildung s, die für Banachräume E und F jedem Operator T\in\mathcal{L}(E,F) eine Folge (sn(T)) mit folgenden Eigenschaften zuordnet:

  1. Monotonie: \|T\parallel=s_1(T)\geq s_2(T)\geq...\geq 0,\; T\in \mathcal{L}(E,F)
  2. Additivität: s_n(S+T)\leq s_n(S)+\|T\parallel für S,T \in \mathcal{L}(E,F)
  3. Idealeigenschaft: s_n(RST)\leq\left\|R\right\|s_n(S)\|T\parallel,\; T\in \mathcal{L}(E_1,E),S\in \mathcal{L}(E,F),R\in \mathcal{L}(F,F_1)
  4. Rangeigenschaft: sn(T) = 0 für T\in\mathcal{F}(E,F) mit \operatorname{rang}\,T < n
  5. Normierung:s_n (id: {l_2}^n \rightarrow {l_2}^n ) =1

Der Wert sn(T) wird als n-te s-Zahl von T bezeichnet.

Die Approximationszahlen, die Gelfandzahlen, die Kolmogorowzahlen, die Weylzahlen und die Tichomirovzahlen sind additive s-Zahlenfunktionen. Der prominenteste Vertreter der pseudo-s-Zahlenfunktionen sind die Entropiezahlen.[1]

Literatur

  • Hermann König: Eigenvalue distribution of compact operators. In: Integral Equations and Operator Theory. 9, Nr. 4, Birkhauser Verlag, Basel-Boston-Stuttgart Juli 1986, ISSN 0378-620X, S. 610-612 (enthält Einführung in die Theorie der s-Zahlen, www.springerlink.com/index/K27205X547780177.pdf).

Einzelnachweise

  1. ↑ Albrecht Pietsch: Operator ideals, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaft, 1978

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