Sattelpunktsnäherung

Sattelpunktsnäherung

In der Analysis wird die Sattelpunktsnäherung verwendet, um Integrale der Form


I = 
\lim_{N\to\infty}
\int\limits_{-\infty}^{\infty}
e^{-Nf(x)} \; \mathrm{d}x

näherungsweise zu berechnen.

Falls die Funktion f(x) analytisch ist und ein globales Minimum bei x0 besitzt, so erhält man:


I = \lim_{N \to \infty}
e^{-Nf(x_0)}
\sqrt{\frac{2\pi}{N f''(x_0)}}
mit 
\left. f''(x_0) = \frac{\partial ^2f(x)}{\partial x^2} \right|_{x=x_0}
.

Anwendungen

Die Sattelpunktsnäherung wird vor allem in der statistischen Physik im Grenzfall großer Systeme und der Quantenfeldtheorie verwendet.

Begründung

Für große N wird die Exponentialfunktion außerhalb der Umgebung von x0 beliebig klein. Deshalb wird f(x) um x0 in eine Taylorreihe entwickelt:  f(x) \approx f(x_0) + \frac{1}{2} f''(x_0) (x-x_0)^2.

Einsetzen ins Integral liefert


I =
\lim_{N \to \infty}
\int\limits_{-\infty}^{\infty}
e^{-N f(x_0) - N \frac{1}{2} f''(x_0) (x-x_0)^2} \mathrm{d}x

={\lim_{N \to \infty} e^{-Nf(x_0)}} \; 
\int\limits_{-\infty}^{\infty}  
e^{-N\frac{1}{2}f''(x_0)(x-x_0)^2} \; \mathrm{d}x
.

Das Integral über die Gauß-Verteilung lässt sich leicht lösen.


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