Taylorreihe

In der Analysis verwendet man Taylorreihen (auch Taylor-Entwicklungen, nach dem Mathematiker Brook Taylor), um Funktionen in der Umgebung bestimmter Punkte durch Potenzreihen darzustellen. So kann ein komplizierter analytischer Ausdruck durch eine nach wenigen Gliedern abgebrochene Taylorreihe (oftmals gut) angenähert werden (z. B. in der Physik).

Eng verwandt mit der Taylorreihe sind die Taylor-Polynome, die im Artikel Taylor-Formel beschrieben sind.

Definition

Sei $I \subset \R$ ein offenes Intervall, $f\colon I\rightarrow\R$ eine beliebig oft differenzierbare Funktion und a ein Element von I. Dann heißt die unendliche Reihe

$\begin{align} P_f(x) &=f(a)+ \frac{f'(a)}{1!} (x-a) + \frac{f''(a)}{2!} (x-a)^2 + \dotsb + \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n + \dotsb\\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n \end{align}$

die Taylor-Reihe von f mit Entwicklungspunkt a. Der Entwicklungspunkt ist der Punkt, in dessen Umgebung das Verhalten der Funktion interessiert. Hierbei bezeichnet f⁽ⁿ⁾(a) die n-te Ableitung von f an der Stelle a (mit f⁽⁰⁾: = f) und $n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n$ die Fakultät von n.

Die Reihe ist hier zunächst nur „formal“ zu verstehen, das heißt, es wird weder vorausgesetzt noch behauptet, dass sie konvergiert. Im Spezialfall a = 0 wird die Taylor-Reihe manchmal auch MacLaurin-Reihe genannt.

Den Ausdruck

$T_1(x) := f(a)+f\!\,'(a)(x-a)$

(also die Summe der ersten beiden Terme der Taylorreihe) nennt man auch "Linearisierung von f an der Stelle a". Allgemeiner nennt man die Partialsumme

$T_n(x):= f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \dotsb + \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n,$

die für festes a ein Polynom in der Variablen x darstellt, das n-te Taylorpolynom.

Die Taylorformel mit Restglied macht Aussagen darüber, wie dieses Polynom von der Funktion f abweicht. Aufgrund der Einfachheit der Polynomdarstellung sowie der guten Anwendbarkeit der Restgliedformeln sind Taylorpolynome ein häufig angewandtes Hilfsmittel der Analysis, der Numerik, der Physik und der Ingenieurwissenschaften.

Eigenschaften

Die Taylorreihe ist eine Potenzreihe in x. Im Fall einer analytischen Funktion f hat die Taylor-Reihe in jedem Punkt a einen positiven Konvergenzradius und stimmt in ihrem Konvergenzbereich mit f überein, d. h. es gibt ein r > 0, sodass für | x − a | < r gilt

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n.$

Diese Aussage gilt jedoch nicht für beliebige unendlich oft differenzierbare Funktionen. Es gibt Taylor-Reihen mit Konvergenzradius 0 und es gibt unendlich oft differenzierbare Funktionen, deren Taylorreihe im Punkt a einen positiven Konvergenzradius hat, jedoch in keiner Umgebung von a mit f übereinstimmt (siehe Beispiel unten). Aber auch in solchen Fällen wird die Reihe als Taylorreihe bezeichnet.

Konstruktion

Die Taylorreihe ist so konstruiert, dass ihre Ableitungen im Entwicklungspunkt a mit den tatsächlichen Ableitungswerten übereinstimmen, d.h. $P_f^{(k)}(a) = f^{(k)}(a)$.

Zum Beispiel ist die erste Ableitung nach x (man beachte, dass die f'(a), f''(a), etc. hier konstante Werte sind):

$\begin{align} P_f'(x) &=0+ \frac{f'(a)}{1!} + \frac{f''(a)}{2!} 2(x-a) + \dotsb + \frac{f^{(n)}(a)}{n!} n(x-a)^{(n-1)} + \dotsb\\ &= 0+f'(a) + f''(a)\cdot(x-a) + \dotsb + \frac{f^{(n)}(a)}{(n-1)!} (x-a)^{(n-1)} + \dotsb\\ \end{align}$

An der Stelle a:

$\begin{align} P_f'(a) &= 0+ f'(a) + f''(a)\cdot(a-a) + \dotsb + \frac{f^{(n)}(a)}{(n-1)!} (a-a)^{(n-1)} + \dotsb\\ &= 0+ f'(a) + 0 + \dotsb + 0 + \dotsb\\ \end{align}$

Allgemein:

$\begin{align} P_f(x) &= \sum_{n=0}^{k-1} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n + \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x-a)^k + \sum_{n=k+1}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n \\P^{(k)}_f(x) &= \underbrace{{\left( \sum_{n=0}^{k-1} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n \right)}^{(k)}}_{=0 \text{ wegen }n<k } + {\left( \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x-a)^k \right)}^{(k)} + {\left( \sum_{n=k+1}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n \right)}^{(k)} \\P^{(k)}_f(x) &= 0 + \frac{f^{(k)}(a)}{k!}k! + \sum_{n=k+1}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{(n-k)!}\underbrace{(x-a)^{n-k}}_{\text{wird } 0 \text{ bei } x=a} \\P^{(k)}_f(a) &= f^{(k)}(a) \end{align}$

Beispiele

Taylorreihen mit Konvergenzradius größer Null

Viele bekannte Funktionen lassen sich durch Potenzreihen darstellen, die dann gleichzeitig Taylorreihen der Funktion sind. Zum Beispiel gilt für alle reellen Zahlen x:

Exponentialfunktionen und Logarithmen

Approximation von ln(x) durch Taylorpolynome der Grade 1, 2, 3 bzw. 10 um den Entwicklungspunkt 1. Die Polynome konvergieren nur im Intervall (0, 2]. Der Konvergenzradius ist also 1.

Die natürliche Exponentialfunktion wird auf ganz $\R$ durch ihre Taylorreihe dargestellt:

$e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$

für alle reellen oder komplexen x.

Beim natürlichen Logarithmus hat die Taylorreihe mit Entwicklungspunkt 1 den Konvergenzradius 1. Für $-1 < x \le 1$ wird die Logarithmusfunktion durch ihre Taylorreihe dargestellt.

$\ln(1+x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n}\quad\mathrm{ f\ddot{u}r}\ -1 < x \le 1$

Diese Formel ist jedoch für praktische Rechnungen ungeeignet. Schneller konvergiert diese Reihe:

$\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right) = 2 \sum_{k=0}^\infty \frac{x^{2k+1}}{2k+1}\quad\mathrm{ f\ddot{u}r}\ -1 < x < 1$

Wählt man $x := \frac{y-1}{y+1}$ für ein y > 0, dann erhält man damit ln(y).

Trigonometrische Funktionen

Approximation von sin(x) durch Taylorpolynome Pn vom Grad 1, 3, 5 und 7

Animation: Die Cosinusfunktion um den Punkt 0 entwickelt, in sukzessiver Näherung (zur Unterbrechung der Animation Esc-Taste drücken!).

Für die Entwicklungsstelle a = 0 gilt (Maclaurin-Reihe):

$\sin(x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \quad\mathrm{ f\ddot{u}r\ alle}\ x$

$\cos(x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} \quad\mathrm{ f\ddot{u}r\ alle}\ x$

$\tan(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{B_{2n}(-4)^n(1-4^n)}{(2n)!}x^{2n-1} \quad\mathrm{ f\ddot ur }\ \left| x \right| < \frac{\pi}{2}$, dabei ist B_2n die 2n-te Bernoulli-Zahl.

$\sec(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nE_{2n}}{(2n)!}x^{2n} \quad \mathrm{ f\ddot{u}r}\ \left| x \right| < \frac{\pi}{2}$, dabei ist E_2n die 2n-te Eulersche Zahl.

$\arcsin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad\mathrm{ f\ddot{u}r}\ \left| x \right| < 1$

$\arctan x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}\quad\mathrm{ f\ddot{u}r}\ \left| x \right| \leq 1$

Einige häufig verwendete Näherungen

In den Natur- und Ingenieurwissenschaften werden manchmal folgende Reihenentwicklungen verwendet (ohne Beweis):

$(1+x)^n \approx 1+nx \quad\mathrm{ f\ddot{u}r\ } \left| nx \right| \ll 1$

$\ln(1+x) \approx x \quad\mathrm{ f\ddot{u}r\ } \left| x \right| \ll 1$

$\sin(x) \approx x \quad\mathrm{ f\ddot{u}r\ } \left| x \right| \ll \frac{\pi}{2}$

$\cos(x) \approx 1 - \frac{x^2}{2} \quad\mathrm{ f\ddot{u}r\ } \left| x \right| \ll \frac{\pi}{2}$

Eine Funktion, die in einem Punkt nicht in eine Taylorreihe entwickelt werden kann

Die Taylorreihe einer Funktion konvergiert nicht immer gegen die Funktion. Im folgenden Beispiel stimmt die Taylorreihe auf keiner Umgebung um den Entwicklungspunkt x = 0 mit der Ausgangsfunktion überein:

$f(x) = \begin{cases} 0 & \text{falls } x\le 0\\ \mathrm{e}^{-1/x^2} & \text{falls } x>0 \end{cases}$

Als reelle Funktion ist f beliebig oft stetig differenzierbar, wobei die Ableitungen in jedem Punkt $x \leq 0$ (insbesondere für x = 0) ausnahmslos 0 sind. Die Taylorreihe um den Nullpunkt ist also die Nullfunktion, und stimmt in keiner Umgebung der 0 mit f überein. Daher ist f nicht analytisch. Die Taylorreihe um einen Punkt a > 0 konvergiert zwischen 0 und 2a gegen f. Auch mit einer Laurentreihe lässt sich diese Funktion nicht approximieren, weil die Laurentreihe, die die Funktion für x > 0 korrekt wiedergibt, für x < 0 nicht konstant 0 ergibt.

Eine Funktion, deren Taylorreihe Konvergenzradius 0 hat

Die Funktion

$f(x)=\int_0^\infty\frac{\mathrm e^{-t}}{1+x^2t}\,\mathrm dt$

ist auf ganz $\R$ beliebig oft differenzierbar, aber ihre Taylorreihe in a = 0 ist

$1-x^2+2!\,x^4-3!\,x^6+4!\,x^8-+\dots$

und somit nur für x = 0 konvergent.^[1]

Taylorreihe in mehreren Variablen

Die Taylorreihe kann auch in allgemeiner Form für Funktionen in mehreren Variablen geschrieben werden:

$T(x_1,\dots,x_d) = \sum_{n_1=0}^{\infin} \cdots \sum_{n_d=0}^{\infin} \frac{(x_1-a_1)^{n_1}\cdots (x_d-a_d)^{n_d}}{n_1!\cdots n_d!} \frac{\partial^{n_1}}{\partial x_1^{n_1}} \cdots\frac{\partial^{n_d}}{\partial x_d^{n_d}} {f(a_1,\dots,a_d)} \,$

wobei die partiellen Ableitungen nach dem ersten (zweiten, ...) Funktionsargument an der Stelle $(a_1,a_2, \dots, a_n )$ zu nehmen sind. Zum Beispiel ist die Taylorreihe einer Funktion, die von den beiden Variablen x und y abhängt, in der Umgebung von (a, b):

$f(x,y) \,$

$\approx f(a,b) +(x-a)\, f_x(a,b) + (y-b)f_y(a,b) \,$

$+ \frac{1}{2!}\left[ (x-a)^2\, f_{xx}(a,b) + 2(x-a)\,f_{xy}(a,b)\,(y-b) + (y-b)^2\, f_{yy}(a,b) \right] + \dots$

Die Taylorreihe einer skalarwertigen Funktion in mehr als einer Variable kann bis zur zweiten Ordnung kompakter geschrieben werden als:

$T(\mathbf{x}) = f(\mathbf{a}) + (\mathbf{x}-\mathbf a)^T\,\nabla f(\mathbf{a}) + \frac{1}{2!} (\mathbf{x} - \mathbf{a})^T \operatorname{H}_f(\mathbf a) (\mathbf{x} - \mathbf{a}) + \dots$

Dabei ist $\nabla f(\mathbf{a})$ der Gradient und $\operatorname{H}_f(a)$ die Hesse-Matrix von f an der Stelle $\mathbf a$.

In der Multiindex-Notation wird die Taylorreihe in mehreren Variablen zu:

$T(\mathbf{x}) = \sum_{|\boldsymbol \alpha| \ge 0}^{}\frac{(\mathbf{x}-\mathbf{a})^{\boldsymbol\alpha}}{\boldsymbol\alpha !}\mathbf D^{\boldsymbol{\alpha}}f(\mathbf{a})$

in voller Entsprechung zum eindimensionalen Fall.

Weblinks

• Visualisierung der Taylorreihen-Entwicklung - Der Grad der Näherung und der Ableitpunkt kann dabei selbst bestimmt werden. Die Stammfunktion ist eine Sinuskurve.
• Taylor Series auf MathWorld (englisch)
• Real and Complex Taylor Series auf PlanetMath (englisch)

Einzelnachweise

1. ↑ http://www.maths.usyd.edu.au/u/UG/JM/MATH1903/r/m1903/m1903sol6.pdf