Satz von Beppo Levi

Der Satz von der monotonen Konvergenz, auch Satz von Beppo Levi genannt (nach Beppo Levi), ist ein wichtiger Satz aus der Maß- und Integrationstheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Er trifft eine Aussage darüber, unter welchen Voraussetzungen sich Integration und Grenzwertbildung vertauschen lassen.

Mathematische Formulierung

Sei $(\Omega,\mathcal{S},\mu)$ ein Maßraum. Für jede Folge $(f_n)_{n\in\N}$ nichtnegativer, messbarer Funktionen $f_n:\Omega\to\R\cup\{\infty\}$, die μ-fast überall monoton wachsend gegen eine messbare Funktion $f:\Omega\to\R\cup\{\infty\}$ konvergiert, so gilt

$\int_\Omega f\ d\mu = \lim_{n\to\infty} \int_\Omega f_n\ d\mu$

Anwendung des Satzes

Sei $(\Omega,\mathcal{S},\mu)$ wieder ein Maßraum. Für jede Folge $(f_n)_{n\in\N}$ nichtnegativer, messbarer Funktionen $f_n:\Omega\to\R\cup\{\infty\}$ gilt

$\int_\Omega \sum_{n=1}^\infty f_n \ d\mu =\sum_{n=1}^\infty \int_\Omega f_n \ d\mu$

Siehe auch

• Satz von der majorisierten Konvergenz
• Lemma von Fatou

Literatur

• Elliott H. Lieb & Michael Loss: Analysis, Second Edition, ISBN 0-8218-2783-9