Satz von Beckman und Quarles

Der Satz von Beckman und Quarles ist ein Satz über geometrische Transformationen. 1952 wurde dieser Satz von Frank S. Beckman und Donald A. Quarles bewiesen.

Er besagt, dass eine beliebige Abbildung des reellen n-dimensionalen Raumes in sich, die sämtliche Punktpaare mit Abstand 1 in ebensolche überführt, bereits eine Isometrie des Raumes ist, also sämtliche Entfernungen unverändert lässt.

Präziser ausgedrückt:

Sei $\phi:\mathbb{R}^n\mapsto\mathbb{R}^n$ für $n\geq2$ eine Abbildung von $\mathbb{R}^n$ in sich mit der Eigenschaft

es gibt r > 0, so dass für alle $x,y\in\mathbb{R}^n$ mit | x − y | = r auch | ϕ(x) − ϕ(y) | = r gilt.

Dann gilt für alle $x,y\in\mathbb{R}^n$, dass | x − y | = | ϕ(x) − ϕ(y) | .

Literatur

• Frank S. Beckman, Donald A. Quarles, Jr.: On isometries of Euclidean spaces. In: Proceedings of the American Mathematical Society, 4 (1953), S. 810–815
• Mehrere Arbeiten von Walter Benz befassen sich mit dem Satz von Beckman-Quarles.