Lemma von Fatou

Das Lemma von Fatou (nach Pierre Fatou) erlaubt in der Mathematik, das Lebesgue-Integral des Limes inferior einer Funktionenfolge durch den Limes inferior der Folge der zugehörigen Lebesgue-Integrale nach oben abzuschätzen. Es liefert damit eine Aussage über die Vertauschbarkeit von Grenzwertprozessen.

Mathematische Formulierung

Sei (S,Σ,μ) ein Maßraum. Für jede Folge $(f_n)_{n\in\N}$ nichtnegativer, messbarer Funktionen$f_n\colon S\to\R\cup\{\infty\}$ gilt

$\int_S \liminf_{n\rightarrow\infty} f_n \ \mathrm{d}\mu \le \liminf_{n\rightarrow\infty} \int_S f_n \ \mathrm{d}\mu,$

wobei auf der linken Seite der Limes inferior der Folge $(f_n)_{n\in\N}$ punktweise zu verstehen ist.

Analog gilt dieser Satz auch für den Limes superior, sofern es eine nichtnegative, integrierbare Funktion g mit $f_n \le g$ gibt:

$\int_S \limsup_{n\rightarrow\infty} f_n \ \mathrm{d}\mu \ge \limsup_{n\rightarrow\infty} \int_S f_n \ \mathrm{d}\mu$.

Dies lässt sich zusammenfassen zu der Merkregel

$\int_S \liminf_{n\rightarrow\infty} f_n \ \mathrm{d}\mu \le \liminf_{n\rightarrow\infty} \int_S f_n \ \mathrm{d}\mu \leq \limsup_{n\rightarrow\infty} \int_S f_n \ \mathrm{d}\mu \leq \int_S \limsup_{n\rightarrow\infty} f_n \ \mathrm{d}\mu$.

Beispiele für strikte Ungleichung

Der Grundraum S sei jeweils versehen mit der borelschen σ-Algebra und dem Lebesgue-Maß.

• Beispiel für einen Wahrscheinlichkeitsraum: Sei S = [0,1] das Einheitsintervall. Definiere $f_n(x)=n\mathbf{1}_{(0,\frac1n)}(x)$ für alle $n\in\N$ und $x\in S$, wobei $\mathbf{1}_{(0,\frac1n)}$ die Indikatorfunktion des Intervalls $(0,\tfrac1n)$ bezeichne.
• Beispiel mit gleichmäßiger Konvergenz: Sei S die Menge der reellen Zahlen. Definiere $f_n(x)=\tfrac1n \mathbf{1}_{[0,n]}(x)$ für alle $n\in\N$ und $x\in S$. (Beachte, dass es in diesem Beispiel keine integrierbare Majorante gibt und daher der sup-Teil des Lemmas von Fatou nicht anwendbar ist.)

Jedes f_n hat Integral eins,

$\int_S f_n \ \mathrm{d}\mu=1$

deshalb gilt

$1 =\lim_{n\rightarrow\infty} \int_S f_n \ \mathrm{d}\mu =\liminf_{n\rightarrow\infty} \int_S f_n \ \mathrm{d}\mu =\limsup_{n\rightarrow\infty} \int_S f_n \ \mathrm{d}\mu$

Die Folge $(f_n)_{n\in\N}$ konvergiert auf S punktweise gegen die Nullfunktion

$0 =\lim_{n\rightarrow\infty} f_n =\liminf_{n\rightarrow\infty} f_n =\limsup_{n\rightarrow\infty} f_n,$

daher ist das Integral ebenfalls Null

$0=\int_S \liminf_{n\rightarrow\infty} f_n \ \mathrm{d}\mu = \int_S \limsup_{n\rightarrow\infty} f_n \ \mathrm{d}\mu,$

daher gelten hier die strikten Ungleichungen

$\int_S \liminf_{n\rightarrow\infty} f_n \ \mathrm{d}\mu < \liminf_{n\rightarrow\infty} \int_S f_n \ \mathrm{d}\mu,$

$\int_S \limsup_{n\rightarrow\infty} f_n \ \mathrm{d}\mu < \limsup_{n\rightarrow\infty} \int_S f_n \ \mathrm{d}\mu$

Diskussion der Voraussetzungen

Auf die Voraussetzung der Nichtnegativität der einzelnen Funktionen kann nicht verzichtet werden, wie das folgende Beispiel zeigt: Sei S das halboffene Intervall $[0, \infty)$ mit der borelschen σ-Algebra und dem Lebesgue-Maß. Für alle $n \in \N$ definiere $f_n(x):=-\tfrac{1}{n} \mathfrak{1}_{[0,n]}(x)$. Die Folge $(f_n)_{n\in\N}$ konvergiert auf S gleichmäßig gegen die Nullfunktion (mit Integral 0), jedes f_n hat aber Integral -1. Daher ist

$0 = \int_S \lim_{n\rightarrow\infty} f_n \ \mathrm{d}\mu > \lim_{n\rightarrow\infty} \int_S f_n \mathrm{d}\mu = -1$.

Siehe auch

• Satz von der majorisierten Konvergenz
• Satz von der monotonen Konvergenz

Literatur

• Elliott H. Lieb, Michael Loss: Analysis. 2. Auflage. In: Graduate Studies in Mathematics. Band 14, Oxford University Press, ISBN 0-8218-2783-9.
• Walter Rudin: Analysis. 2. Auflage, ISBN 3-486-25810-9 (Kapitel 11, Satz 11.31 auf Seite 376).