Satz von Cramér-Wold

Satz von Cramér-Wold

Der Satz von Cramér-Wold (nach Harald Cramér und Herman Ole Andreas Wold) aus der Maßtheorie besagt, dass ein Borelmaß auf \mathbb{R}^k durch alle seine eindimensionalen Projektionen eindeutig bestimmt ist. Dies begründet, warum es in statistischen Verfahren wie der Grand Tour oder Projection Pursuit ausreicht, sich Projektionen der Daten anzuschauen. Er wurde 1936 veröffentlicht.[1]

Es seien  \overline{X}_n = (X_{n1},\dots,X_{nk}) \; und  \; \overline{X} = (X_1,\dots,X_k) zwei k-dimensionalen Zufallsvariablen. Dann gilt

\overline{X}_n {\rightarrow}  \overline{X} \Longleftrightarrow \sum_{i=1}^k t_iX_{ni} {\rightarrow} \sum_{i=1}^k t_iX_i für alle  (t_1,\dots,t_k)\in \mathbb{R}^k .

Jede (feste) Linearkombination von \overline{X}_nkonvergiert in Verteilung gegen die korrespondierende Linearkombination von \overline{X} genau dann, wenn \overline{X}_n gegen \overline{X} konvergiert in Verteilung. Dies bedeutet, die Konvergenz in Verteilung einer multivariaten Zufallsvariablen kann auf die Konvergenz in Verteilung einer univariaten Zufallsvariablen (eben der Linearkombinationen) zurückgeführt werden.

Weblinks

Einzelnachweise

  1. Harald Cramér, Herman Wold: Some theorems on distribution functions. J. London Math. Soc, Band 11 Nr. 4, 1936, S. 290–294.

Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Cramer — ist ein deutscher Familienname. Herkunft und Bedeutung Der Name ist eine Schreibvariante des Berufsnamens Kramer. Varianten Kramer, Krämer, Kremer, Cremer Bekannte Namensträger Inhaltsverzeichnis A B C D E …   Deutsch Wikipedia

  • Cramér — Harald Cramér (* 25. September 1893; † 5. Oktober 1985) war ein schwedischer Mathematiker und Statistiker. Cramér lehrte von 1929 bis 1958 als Professor an der Universität Stockholm, deren Rektor bzw. später Universitätskanzler er von 1950 bis… …   Deutsch Wikipedia

  • Harald Cramer — Harald Cramér (* 25. September 1893; † 5. Oktober 1985) war ein schwedischer Mathematiker und Statistiker. Cramér lehrte von 1929 bis 1958 als Professor an der Universität Stockholm, deren Rektor bzw. später Universitätskanzler er von 1950 bis… …   Deutsch Wikipedia

  • Harald Cramér — (* 25. September 1893; † 5. Oktober 1985) war ein schwedischer Mathematiker und Statistiker. Cramér lehrte von 1929 bis 1958 als Professor an der Universität Stockholm, deren Rektor bzw. später Universitätsk …   Deutsch Wikipedia

  • Grand Tour (Statistik) — Die Grand Tour ist ein Verfahren zur explorativen Analyse hochdimensionaler multivariater Daten, das zuerst von Daniel Asimov und Andreas Buja beschrieben wurde[1][2]. Dargestellt ist eine Projektion einer Grand Tour durch Daten mit sechs Dime …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”