Satz von Hartogs (Funktionentheorie)

Als Satz von Hartogs wird in der Funktionentheorie mehrerer komplexer Variablen die grundlegende Aussage verstanden, wonach eine bezüglich jeder Variablen separat holomorphe Funktion insgesamt holomorph ist.

Vorbereitung

$\Omega \subseteq \mathbb{C}^n$ sei eine offene Teilmenge, $a_1, \dots a_n \in \mathbb{C}$ seien Punkte. Dann bezeichne $\Omega_{j,a} := \left\{z \in \mathbb{C} \,:\, (a_1,\dots,a_{j-1},z,a_{j+1},\dots,a_n) \in \Omega \right\} \subseteq \mathbb{C}$ diejenige Teilmenge von Ω, bei welcher alle Koordinaten außer der j-ten den Punkten $a_1, \dots, a_n$ entsprechen. Für eine Funktion $f : \Omega \rightarrow \mathbb{C}$ bezeichne $f_{j,a} : \Omega_{j,a} \rightarrow \mathbb{C}$ die Funktion $z \mapsto (a_1,\dots,a_{j-1},z,a_{j+1},\dots,a_n)$.

Aussage

Sei $\Omega \subseteq \mathbb{C}^n$ eine offene Teilmenge, $f:\Omega \rightarrow \mathbb{C}$ eine Funktion, für welche gilt: $\forall \, a_1, \dots a_n \in \mathbb{C}, \; \forall \, j \in \mathbb{N}: 1 \leq j \leq n$ ist $f_{j,a} : \Omega_{j,a} \rightarrow \mathbb{C}$ eine holomorphe Funktion. Dann ist $f:\Omega \rightarrow \mathbb{C}$ holomorph.

Interpretation

Im Satz wird die Stetigkeit der Funktion f nicht vorausgesetzt, lediglich die Holomorphie bezüglich der einzelnen Variablen separat. Durch Weglassen der Stetigkeits-Bedingung wird der Beweis wesentlich kompliziert, zeigt aber auch deutliche Unterschiede zum reellen Fall:

Zum Beispiel besitzt die Funktion $f : \mathbb{R}^2\setminus\left\{(0,0)\right\} \rightarrow \mathbb{R}, \; (x,y) \mapsto \frac{x \cdot y}{x^2 + y^2}$ keine stetige Fortsetzung im Punkt (0,0), ist aber reell-analytisch bezüglich jeder Variablen. Der Satz von Hartogs schließt ein solches Phänomen für holomorphe Funktion aus.

Vom Standpunkt der partiellen Differentialgleichungen kann der Satz von Hartogs auch so interpretiert werden, dass die Lösungen der Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen bei reeller Differenzierbarkeit ohne weitere Regularitätsvoraussetzungen automatisch bezüglich aller Variablen holomorph sind.

Literatur

• Steven G. Krantz: Function Theory of Several Complex Variables. AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island 1992.