Satz von Jacobi (Zahlentheorie)

Der Satz von Jacobi (nach C. Jacobi) ist eine Aussage aus der additiven Zahlentheorie über die Anzahl der Darstellungen einer natürlichen Zahl als Summe von vier Quadraten.

Der Satz von Jacobi findet unter anderem Anwendung in der geometrischen Zahlentheorie z. B. bei der Bestimmung der Anzahl von Gitterpunkten in einer n-dimensionalen Kugel.^[1]

Satz

Für jede natürliche Zahl n sei r(n) durch

$r(n)=\#\{(n_1,n_2,n_3,n_4): n_1,n_2,n_3,n_4\in\mathbb{Z},\ n^2_1+n^2_2+n^2_3+n^2_4=n\}$

definiert. Dann ist

$r(n)=\begin{cases} 8\sigma(n), & 4\nmid n \\ 8\sigma(n)-32\sigma\left(\frac{n}{4}\right), & 4\mid n\end{cases}\ ,$

wobei σ(n) die Teilerfunktion ist (d.h. die Summe aller Teiler von n einschl. n selbst) .^[1],[2]

Jacobi fand diesen Satz mit Hilfe der von ihm in seiner Theorie der elliptischen Funktionen eingeführten Thetafunktionen.

Siehe auch

• Vier-Quadrate-Satz

Quellen und Bemerkungen

1. ↑ ^{a b} Krätzel, E., Zahlentheorie, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1981, ISBN 978-3817112876, 6.2, 6.6
2. ↑ Siemon, H., Einführung in die Zahlentheorie, Verlag Dr. Kovac, Hamburg, 2002, ISBN 978-3-8300-0674-9, 5.5