Vier-Quadrate-Satz

Der Vier-Quadrate-Satz oder Satz von Lagrange ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet Zahlentheorie. Der Satz lautet:

Jede natürliche Zahl kann als Summe von vier Quadratzahlen geschrieben werden.

Einige Beispiele:

3 = 1 + 1 + 1 + 0

31 = 25 + 4 + 1 + 1

310 = 289 + 16 + 4 + 1

Es gibt Zahlen, für die es mehrere Darstellungen als Summe von vier Quadratzahlen gibt. So lässt sich beispielsweise die 310 auch wie folgt darstellen:

310 = 225 + 81 + 4 + 0

Die Aussage des Satzes von Lagrange wurde bereits 1621 von Bachet und 1640 von Pierre de Fermat vermutet. Joseph Louis Lagrange veröffentlichte im Jahre 1770 den ersten Beweis. Dieser wurde drei Jahre später von Leonhard Euler wesentlich vereinfacht.

Natürliche Zahlen als Summe von Quadratzahlen

Es gibt natürliche Zahlen, die sich als Summe zweier Quadratzahlen darstellen lassen: So ist z.B. 20 = 16 + 4. Für 21 hingegen gibt es eine solche Darstellung nicht.

Allgemein gilt, dass eine natürliche Zahl n dann nicht als Summe zweier Quadratzahlen darstellbar ist, wenn die Primfaktorzerlegung von n mindestens eine Primzahl p in ungerader Vielfachheit enthält, für die gilt: $p \equiv 3 \mod 4$.

Beispiel: 14 = 2*7. Die 7 ist bezüglich 4 in der Restklasse 3. Also kann es keine Darstellung von 14 als Summe zweier Quadratzahlen geben. Hingegen ist 98 = 2*7*7. Hier gilt zwar ebenfalls, dass 7 bezüglich 4 in der Restklasse 3 ist, aber in der Primfaktorzerlegung doppelt vorhanden, also kann es eine Darstellung von 98 als Summe zweier Quadratzahlen geben, nämlich 49+49.

Umgekehrt hat Fermat herausgefunden, dass jede Primzahl p, für die gilt: $p \equiv 1 \mod 4$, als Summe zweier Quadratzahlen darstellbar ist. Diese Erkenntnis wurde von dem Mathematiker Carl Gustav Jacob Jacobi verwendet, um den Satz zu beweisen:

Eine beliebige natürliche Zahl n ist genau dann als Summe zweier Quadrate darstellbar, wenn in der Primfaktorzerlegung von n alle $p \equiv 3 \mod 4$ in gerader Vielfachheit vorkommen.

Der deutsche Mathematiker Edmund Landau wies nach, dass die Anzahl solcher Zahlen, die sich als Summe zweier Quadratzahlen darstellen lassen, verhältnismäßig klein ist.

Interessant ist nun die Fragestellung, wie viele Summanden im Höchstfall notwendig sind, um jede beliebige natürliche Zahl als Summe von Quadraten darzustellen. Diese Frage beantwortet der oben dargestellte Vier-Quadrate-Satz.

Verwandtes Thema: Eulerscher Vier-Quadrate-Satz

Hat man mit

$n_1 = a_1^2+b_1^2+c_1^2+d_1^2$    und    $\qquad n_2 = a_2^2+b_2^2+c_2^2+d_2^2$

die Darstellungen zweier Zahlen n₁ und n₂ als Summe von 4 Quadraten, dann hat man über die Quaternionen

$x_i=a_i+b_i\cdot\mathrm i+c_i\cdot\mathrm j+d_i\cdot\mathrm k$    und die Gleichung    $\qquad |x_1|^2\cdot|x_2|^2=|x_1x_2|^2$

eine Darstellung auch des Produktes

$n_1 n_2 = (a_1^2+b_1^2+c_1^2+d_1^2)(a_2^2+b_2^2+c_2^2+d_2^2)$

${}=(a_1a_2-b_1b_2-c_1c_2-d_1d_2)^2+(a_1b_2+b_1a_2+c_1d_2-d_1c_2)^2\,$

${}+(a_1c_2-b_1d_2+c_1a_2+d_1b_2)^2+(a_1d_2+b_1c_2-c_1b_2+d_1a_2)^2.\,$

als Summe von 4 Quadraten. Diese Identität hatte bereits Leonhard Euler 1748 entdeckt und ist nach ihm auch Eulerscher Vier-Quadrate-Satz benannt. Mit diesem Satz reduzierte er den Beweis des Satzes, dass jede Zahl sich als Summe von vier Quadratzahlen schreiben lässt, auf Primzahlen.^[1]

Erweiterung des Problems

Der Satz wurde 1798 von Adrien-Marie Legendre zum Drei-Quadrate-Satz erweitert, indem er herausfand, dass jede natürliche Zahl aus maximal drei Quadratzahlen zusammengesetzt werden kann, für den Fall dass sie nicht in der Form $4^i(8j + 7), i,j \in \N_0$ dargestellt werden kann.^[2] Eine Lücke im Beweis wurde später von Carl Friedrich Gauß geschlossen, weshalb er auch als Satz von Gauß bekannt ist. Peter Gustav Lejeune Dirichlet und Edmund Landau fanden Vereinfachungen des Beweises.

Als erweiterte Fragestellung trat nun das so genannte Waringsche Problem auf, inwiefern man die kleinste Anzahl von Summanden angeben kann, die notwendig ist, um jede natürliche Zahl als Summe von Zahlen mit dem Exponenten k darzustellen. Lagrange hat für k = 2 nachgewiesen, dass es sich um vier Summanden handelt. Näheres zum Waringschen Problem siehe dort.

Anzahl der Darstellungen

Wie schon in der Einleitung gezeigt, gibt es teilweise mehrere Darstellungen einer Zahl als Summe vierer Quadratzahlen. Eine Formel für die Anzahl solcher Darstellungen liefert der Satz von Jacobi.

Siehe auch

• Lipschitzquaternionen
• Hurwitzquaternionen

Literatur

• Peter Bundschuh, Einführung in die Zahlentheorie, 5. Auflage, Springer-Verlag, 2002, ISBN 3-540-43579-4, S. 154–167.

Einzelnachweise

1. ↑ Vgl. Brief von Leonhard Euler an Christian Goldbach (4. Mai 1748/12. April 1749).
2. ↑ Vgl. Adrien-Marie Legendre: Essai sur la Theorie des Nombres. Paris ²1808, S. 293-339 (Théorie des Nombres considérés comme décomposables en trois quarrés).