Satz von Pappus-Pascal

Der Satz von Pappos (Pappus), gelegentlich auch Satz von Pappos-Pascal genannt, ist ein zentraler Satz in der affinen und projektiven Geometrie. Er taucht erstmals als Proposition 139 im VII. Buch der Mathematischen Sammlungen des antiken griechischen Mathematikers Pappos von Alexandria auf. Blaise Pascal fand im 17. Jahrhundert eine Verallgemeinerung des Satzes, den nach ihm benannten Satz von Pascal.

Beispiel für den Satz von Pappos (projektive Form)

Der Satz lautet in seiner allgemeineren projektiven Form: Liegen die Eckpunkte eines Sechsecks abwechselnd auf zwei Geraden, so sind die Schnittpunkte der gegenüber liegenden Seiten des Sechsecks kollinear.

Im nebenstehenden Beispiel ist das fragliche Sechseck mit (a,b,c,d,e,f) bezeichnet. ab ist die Gegenseite zu de, bc zu ef und cd zu fa. Die Schnittpunkte x, y, z liegen auf der rot eingezeichneten Geraden.

Sind die beiden Geraden durch die Sechseckpunkte und die Gerade durch die Schnittpunkte der Gegenseiten kopunktal, so spricht man auch vom kleinen Satz von Pappos.

Da sich zwei Geraden in einer affinen Ebene nicht unbedingt schneiden, wird der Satz in diesem Zusammenhang auch in einer spezielleren affinen Form formuliert: Liegen die Eckpunkte eines Sechsecks abwechselnd auf zwei Geraden und sind zwei Paare von Gegenseiten parallel, so ist es auch das dritte.

Diese Formulierung beschreibt in affiner Sprechweise den Fall, dass die Schnittpunkte der Gegenseiten des Sechsecks auf der uneigentlichen Geraden liegen.

Bedeutung

Der Satz von Pappos muss in abstrakteren als der wohlbekannten euklidischen Ebene nicht unbedingt gelten. Affine oder projektive Ebenen, in denen die Aussage des Satzes von Pappos zutrifft, werden als pappussche Ebenen bezeichnet.

Jede pappussche Ebene lässt sich mithilfe eines zweidimensionalen Vektorraums beschreiben, dem ein kommutativer Körper zugrundeliegt. Außerdem ist jede pappussche Ebene auch eine desarguessche Ebene.

Literatur

• Lingenberg, Rolf: Grundlagen der Geometrie I; Mannheim: Bibliographisches Institut (1969)

• Karzel, Sörensen, Windelberg: Einführung in die Geometrie; Göttingen: Vandenhoeck & Ruprecht (1973), ISBN 3-525-03406-7