- Satz von Pappos
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Der Satz von Pappos (Pappus), gelegentlich auch Satz von Pappos-Pascal genannt, ist ein zentraler Satz in der affinen und projektiven Geometrie. Er taucht erstmals als Proposition 139 im VII. Buch der Mathematischen Sammlungen des antiken griechischen Mathematikers Pappos von Alexandria auf. Blaise Pascal fand im 17. Jahrhundert eine Verallgemeinerung des Satzes, den nach ihm benannten Satz von Pascal.
Beispiel für den Satz von Pappos (projektive Form)
Der Satz lautet in seiner allgemeineren projektiven Form: Liegen die Eckpunkte eines Sechsecks abwechselnd auf zwei Geraden, so sind die Schnittpunkte der gegenüber liegenden Seiten des Sechsecks kollinear (liegen auf einer Geraden).
Im nebenstehenden Beispiel ist das fragliche Sechseck mit (a,b,c,d,e,f) bezeichnet. ab ist die Gegenseite zu de, bc zu ef und cd zu fa. Die Schnittpunkte x, y, z liegen auf der rot eingezeichneten Geraden.
Sind die beiden Geraden durch die Sechseckpunkte und die Gerade durch die Schnittpunkte der Gegenseiten kopunktal, so spricht man auch vom kleinen Satz von Pappos.
Da sich zwei Geraden in einer affinen Ebene nicht unbedingt schneiden, wird der Satz in diesem Zusammenhang zusätzlich noch in einer spezielleren affinen Form formuliert: Liegen die Eckpunkte eines Sechsecks abwechselnd auf zwei Geraden und sind zwei Paare von Gegenseiten parallel, so ist es auch das dritte.
Diese Formulierung beschreibt in affiner Sprechweise den Fall, dass die Schnittpunkte der Gegenseiten des Sechsecks auf der uneigentlichen Geraden liegen.
Bedeutung
Der Satz von Pappos muss in allgemeineren als der vertrauten euklidischen Ebene nicht unbedingt gelten. In der synthetischen Geometrie wird er als Axiom aufgefasst und affine oder projektive Ebenen, in denen die jeweilige Aussage des Satzes von Pappos zutrifft, werden als pappussche Ebenen bezeichnet.
Jede affine pappussche Ebene lässt sich mithilfe eines zweidimensionalen, jede projektive pappussche Ebene mithilfe eines dreidimensionalen Vektorraums beschreiben, dem ein kommutativer Körper zugrunde liegt. Außerdem ist jede pappussche Ebene auch eine desarguessche Ebene.
→ Für einen Überblick über affine und projektive Ebenen, in denen der Satz von Pappus oder schwächere Schließungssätze allgemein gelten und die Folgerungen, die sich damit jeweils für die algebraische Struktur des Koordinatenbereiches ergeben, siehe den Artikel „Ternärkörper“.
Literatur
- Lingenberg, Rolf: Grundlagen der Geometrie I; Mannheim: Bibliographisches Institut (1969)
- Karzel, Sörensen, Windelberg: Einführung in die Geometrie; Göttingen: Vandenhoeck & Ruprecht (1973), ISBN 3-525-03406-7
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