Satz von Varignon

Der Satz von Varignon beschreibt in der Geometrie eine Eigenschaft von Vierecken. Namensgeber ist Pierre de Varignon (1654–1722).

Formulierung

Wenn man die Mitten benachbarter Seiten eines Vierecks verbindet, dann erhält man ein Parallelogramm.

Beweis

Voraussetzung

$\overline{AE}=\overline{EB}, \overline{BF} = \overline{FC}, \overline{CG} = \overline{GD}, \overline{DH} = \overline{HA}$

Behauptung

Das Viereck EFGH ist ein Parallelogramm.

Gang des Beweises

1. Betrachte das Dreieck ABC. Nimmt man B als Streckzentrum einer zentrischen Streckung, werden A auf E und C auf F mit Streckfaktor ½ abgebildet. Nach den Abbildungseigenschaften der zentrischen Streckung – Bildgerade und Urgerade sind parallel – folgt AC ∥ EF.
2. Ebenso zeigt man, dass AC ∥ GH, BD ∥ FG, und BD∥ HE.
3. Die Parallelität ist transitiv. Also ist EF ∥ HG und FG ∥ HE.

Die gegenüber liegenden Seiten des Vierecks EFGH sind parallel, was der Definition eines Parallelogramms entspricht.

Folgerungen

Umfang des Varignon-Parallelogramms

Der Umfang des Varignon-Parallelogramms ist genau so groß wie die Summe der Diagonalen im Ursprungsviereck.

Fläche des Varignon-Parallelogramms

Die Fläche des Varignon-Parallelogramms ist halb so groß wie die Fläche des Ursprungsvierecks.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Varignon's Theorem. In: MathWorld. (englisch)
• Varignon-Parallelogram in Compendium Geometry (engl.)
• Satz von Varignon bei Matroids Matheplanet
• Satz von Varignon mit Java-Animationen