Sekantensatz

Der Sekantensatz besagt: Schneiden sich zwei Sekanten außerhalb des Kreises in einem Punkt P, so ist das Produkt der Abschnittslängen vom Sekantenschnittpunkt bis zu den beiden Schnittpunkten von Kreis und Sekante auf beiden Sekanten gleich groß. Kürzer: Das Produkt der Sekantenabschnitte ist konstant.

Sekantensatz

Gegeben sei ein Kreis mit zwei Sekanten, die sich in einem Punkt P außerhalb des Kreises schneiden. Bezeichnet man die Schnittpunkte des Kreises mit der einen Sekante als A beziehungsweise D und die Schnittpunkte mit der anderen Sekante als B beziehungsweise C, so gilt:

$\overline{AP} \cdot \overline{DP}= \overline{BP} \cdot \overline{CP}$

Diese Aussage kann man auch als Verhältnisgleichung formulieren:

$\overline{AP} : \overline{BP} = \overline{CP} : \overline{DP}$

Der Sekantensatz lässt sich – ähnlich wie der Sehnensatz und der Sekanten-Tangenten-Satz – mit Hilfe ähnlicher Dreiecke beweisen.

Die Dreiecke APC und BPD sind ähnliche Dreiecke, denn:

1) Der Winkel φ in Punkt P ist beiden Dreiecken gemeinsam.

2) Umfangswinkel über einer Sehne sind gleich groß. Anwendung dieses Satzes auf die Sehne [AB] ergibt γ₁ = δ₁.

$\triangle APC \sim \triangle BPD$ (Ähnlichkeitssatz WW)

Daraus ergibt sich die Verhältnisgleichung

$\overline{AP} : \overline{BP} = \overline{CP} : \overline{DP}$.

Durch Multiplikation mit $\overline{BP} \cdot \overline{DP}$ erhält man:

$\overline{AP} \cdot \overline{DP}= \overline{BP} \cdot \overline{CP}$

Literatur

• Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 2. Auflage. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York, 2000, ISBN 3-540-67643-0
• Schupp, H.: Elementargeometrie, UTB Schöningh (1977),ISBN 3-506-99189-2, S.150