Semidirekte Summe

Die semidirekte Summe ist eine mathematische Konstruktion aus der Theorie der Lie-Algebren.

Konstruktion

Es seien ${\mathfrak a}$ und $\mathfrak b$ Lie-Algebren, $\pi: {\mathfrak a}\rightarrow {\rm End}({\mathfrak b})$ sei eine Darstellung, das heißt:

• π ist linear, und für alle $a_1,a_2\in {\mathfrak a}$ gilt $\pi([a_1,a_2]) \,=\, \pi(a_1)\pi(a_2) - \pi(a_2)\pi(a_1)$.
• π(a) ist für jedes $a\in {\mathfrak a}$ eine Derivation auf ${\mathfrak b}$.

Dann gibt es auf der direkten Summe ${\mathfrak a}\oplus {\mathfrak b}$ der Vektorräume genau ein Produkt $[\cdot,\cdot]$, so dass Folgendes gilt:

• ${\mathfrak a}\oplus {\mathfrak b}$ ist mit $[\cdot,\cdot]$ eine Lie-Algebra.
• Die Einschränkung Produktes auf ${\mathfrak a}$ und ${\mathfrak b}$ stimmt mit den dort gegebenen Produkten überein.
• Für alle $a\in {\mathfrak a}$ und $b\in {\mathfrak b}$ gilt $[a,b] \,=\, \pi(a)b$.

Dabei werden ${\mathfrak a}$ und ${\mathfrak b}$ als Unterräume der direkten Summe aufgefasst.

Das Produkt auf ${\mathfrak a}\oplus {\mathfrak b}$ lautet

$[(a_1,b_1)\, ,\,(a_2,b_2)] := ([a_1,a_2]\, ,\, [b_1,b_2] + \pi(a_1)b_2-\pi(a_2)b_1) ,\quad a_1,a_2\in {\mathfrak a},\, b_1,b_2\in {\mathfrak b}$.

Man rechnet nach, dass durch diese Definition eine Lie-Algebra gegeben ist. Diese wird mit ${\mathfrak a}\ltimes_{\pi} {\mathfrak b}$ bezeichnet und heißt die semidirekte Summe oder auch das semidirekte Produkt aus ${\mathfrak a}$ und $\mathfrak b$. Wenn es bezüglich der Darstellung π keine Missverständnisse geben kann, so lässt man sie weg und schreibt einfach ${\mathfrak a}\ltimes {\mathfrak b}$.

Bemerkungen

• In obiger Konstruktion ist ${\mathfrak a}$ eine Lie-Unteralgebra der semidirekten Summe und ${\mathfrak b}$ sogar ein Ideal, das heißt $[{\mathfrak a}\ltimes {\mathfrak b},{\mathfrak b}] \subset {\mathfrak b}$.
• Ist π = 0, so liegt die direkte Summe der Lie-Algebren vor.
• Seien ${\mathfrak g}$ eine Lie-Algebra über dem Körper K und d eine Derivation auf ${\mathfrak g}$. Dann ist $Kd \subset {\rm End}({\mathfrak g})$ eine Darstellung, und man kann $Kd \ltimes {\mathfrak g}$ bilden. Dies nennt man auch die Adjunktion der Derivation d.

Quellen

• Anthony W. Knapp: Lie Groups Beyond an Introduction. Birkhäuser, 2002, ISBN 0817642595.