Direkte Summe

Der Begriff der direkten Summe in der Mathematik wird zwischen äußerer und innerer direkter Summe unterschieden.

Äußere direkte Summe

Als äußere direkte Summe bezeichnet man in der Mathematik den Standardvertreter des in der Kategorientheorie (nur bis auf Isomorphie) definierten Koprodukts von Vektorräumen, abelschen Gruppen oder Moduln. Er ist gegeben durch den Unterraum, bzw. Untergruppe, bzw. Untermodul des direkten Produktes, welcher aus genau den Tupeln mit endlichem Träger besteht. Im Falle nur endlich vieler Faktoren stimmt diese Struktur mit dem direkten Produkt überein. (Im Folgenden werden wir uns der Einfachheit halber nur mit dem Fall von Vektorräumen beschäftigen, für abelsche Gruppen und Moduln geht dies aber analog.) Die direkte Summe wird mit dem Verknüpfungszeichen $\oplus$ geschrieben.

Eine weitere Möglichkeit, das Koprodukt zu beschreiben, ist die unten erklärte innere direkte Summe, welche zur äußeren direkten Summe isomorph ist.

Definition

Sei $\left(V_i\right)_{i\in I}$ eine Familie von Vektorräumen. Dann heißt

$\bigoplus_{i\in I } V_i\colon = \left\{\left(v_i\right)_{i \in I} \in\prod_{i\in I} V_i \mid \mbox{ fast alle}\ v_i = 0 \right\}$

die äußere direkte Summe der Familie $(V_i)_{i \in I}$, wobei $\prod_{i \in I} V_i$ das direkte Produkt von Vektorräumen ist.

Im endlichen Fall ergibt sich also z.B.

$V_1 \oplus V_2 =\left\{\left(v_1,v_2\right)\mid v_1 \in V_1, v_2 \in V_2\right\} = V_1\times V_2$

Die Unterscheidung zwischen direkter Summe und direktem Produkt ist somit nur bei unendlicher Indexmenge notwendig.

Außerdem gilt bei einer solchen direkten Summe von endlich vielen (hier zwei) Vektorräumen, dass die Dimension der Summe gleich der Summe der Dimensionen von V₁ und V₂ ist.

Innere direkte Summe

Bei einer Familie von Unterräumen $(U_i)_{i \in I}$ des Vektorraumes V, heißt V innere direkte Summe von U_i (auch direkte Zerlegung von V), falls jedes $v \in V$ eindeutig aus der Summe endlich vieler $u_i \in U_i$ gebildet werden kann. D.h.

$\forall v \in V: \exists \,({\rm eindeutige})\, u_i \in U_i : v = \sum_{i \in I} u_i$.

Wie die äußere Summe wird auch die innere wie folgt symbolisiert:

$V = \oplus_{i \in I} U_i$

oder im endlichen Fall

$V = U_1 \oplus \dotsb \oplus U_n$

Im Spezialfall $U_1 \oplus U_2 = V$ nennt man U₁ und U₂ zueinander komplementär. Und es gilt

$U_1 \oplus U_2 = V \Leftrightarrow (U_1 + U_2 = V) \and (U_1 \cap U_2 = \{0\})$.

Zusammenhang

Man beachte: die äußere Summe von Unterräumen kann immer gebildet werden, aber die innere Summe von Unterräumen ist meist nicht direkt.

Den Bezug zwischen innerer und äußerer Summe kann man durch folgenden Trick herstellen.

Man konstruiert eine Abbildung $f_j: V_j \longrightarrow \oplus V_i$ für jedes V_j (die Summanden der äußeren Summe):

$f_j(x) = (v_i)_{i \in I}, v_i = x$ für i = j und v_i = 0 für $i \neq j$

Die innere direkte Summe der Bilder dieser Abbildungen bildet dann die äußere direkte Summe.

Literatur

• Gerd Fischer: Lineare Algebra, Vieweg-Verlag, ISBN 3-528-03217-0