- Shapley-Wert
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Der Shapley-Wert (benannt nach Lloyd Shapley) ist ein punktwertiges Lösungs-Konzept aus der kooperativen Spieltheorie. Er gibt an, welche Auszahlung die Spieler in Abhängigkeit von einer Koalitionsfunktion erwarten können (positive Interpretation) oder erhalten sollten (normative Interpretation).
Sei N die Menge der Spieler, n = |N| und v die charakteristische Funktion des Spiels (v(S) ist der Wert der Koalition, also die Höhe der Kosteneinsparung durch Koalitionsbildung). Dann ist der Shapley-Wert (Auszahlung) für Spieler i definiert als
Er ist die einzige Auszahlungsfunktion, welche die folgenden vier Axiome erfüllt:
- Pareto-Effizienz: Der Wert der großen Koalition wird an die Spieler verteilt.
- Symmetrie-Axiom: Spieler mit gleichen marginalen Beiträgen erhalten das gleiche.
- Null-Spieler-Axiom: Ein Spieler mit marginalem Beitrag null zu jeder Koalition erhält null.
- Additivitäts-Axiom: Wenn das Spiel in zwei unabhängige Spiele zerlegt werden kann, mit den charakteristischen Funktionen v und w, dann soll die Auszahlung jedes Spielers im zusammengesetzten Spiel der Summe der Auszahlungen in den aufgeteilten Spielen entsprechen.
Erklärung der Auszahlungsfunktion
Im :
gibt der Zähler die Anzahl möglicher Permutationen an, in denen Spieler i zu einer in beliebiger Reihenfolge entstandenen Koalition von Spielern aus S dazukommt. n! ist die Anzahl aller möglichen Permutationen. Also ergibt der Term zusammen den Anteil an Permutationen, in denen Spieler i nach den anderen Spielern aus S und vor den Spielern aus N\S auftritt (siehe auch Multinomialkoeffizienten).
Der Term
gibt den marginalen Beitrag an, der dadurch entsteht, dass Spieler i der Koalition S beitritt.
(Im Fall
ist der Term Null, daher braucht in der Formel der Fall
nicht unterschieden zu werden.)
Insgesamt ordnet damit der Shapley-Wert jedem Spieler den durchschnittlichen marginalen Beitrag zu.
Alternative Berechnung
Manchmal kann es einfacher sein, den Shapley-Wert gemäß folgender Formel zu berechnen, die äquivalent zur obigen Definition ist.
Dabei ist P eine mögliche Permutation, also genau eine Möglichkeit, alle Spieler in einer Reihe anzuordnen. Es gibt n! verschiedene Permutationen.
bezeichnet die Menge aller möglichen Permutationen.
ist die Menge derjenigen Spieler, die in Permutation P vor Spieler i stehen. Für jede Permutation wird also bestimmt, welchen zusätzlichen Nutzen Spieler i durch seine Teilnahme generiert. Über diese Werte wird dann der Durchschnitt gebildet.
Literatur
- Lloyd S. Shapley: A Value for n-person Games. In: H.W. Kuhn und A.W. Tucker (Hrsg.): Contributions to the Theory of Games, volume II. (Annals of Mathematics Studies v. 28), Princeton University Press, Princeton 1953. Seiten 307-317, ISBN 0-691-07935-8.
- Harald Wiese: Kooperative Spieltheorie, Oldenbourg, München, 2005, ISBN 3-486-57745-X.
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