Slater-Determinante

Die Slater-Determinante (nach John C. Slater) ist ein Näherungsansatz zur Lösung der Schrödinger-Gleichung eines Systems mit N gleichartigen Fermionen.

Diese Wellenfunktion ist ein anti-symmetrisiertes Produkt bestehend aus N orthonormalen Einelektronenfunktionen, welche man durch den Hartree-Fock-Ansatz erhält.

Motivation

Für ein System aus N unterscheidbar angenommenen Elektronen ist ein vollständiges Orthonormalsystem von Zuständen gegeben, ausdrückbar durch die Produktwellenfunktionen aller möglichen Permutationen der Einteilchenzustände. Aus quantenphysikalischer Sicht sind die Teilchen eines Vielteilchensystems gerade nicht unterscheidbar. Dies führt dazu, dass bestimmte Symmetriebedingungen an die dazugehörige Wellenfunktion zu stellen sind. Die Wellenfunktion muss im Fall von Fermionen antisymmetrisch zu beliebiger Vertauschung von zwei Teilchen sein. Um dies gewährleisten zu können, wird, wie im Folgenden gezeigt, die Slater-Determinante aus Einteilchenzuständen geschrieben.

Herleitungsskizze

Wellenfunktion:

$\psi\left(1,2,\dots,N\right) = A_N \phi_1(1) \phi_2(2) \dots \phi_N(N)$

Das Funktionsargument entspricht der Ordnungszahl des jeweiligen Elektrons, z.B. $\phi(i) \equiv \phi(\vec{r}_i)$. Zur Erfüllung des Pauli-Prinzips haben wir noch den Antisymmetrisierungsoperator (engl. Artikel) A_N angefügt, d.h.:

$\psi(1,2,\dots,j,\dots,k,\dots,N) = -\psi(1,2,\dots,k,\dots,j,\dots,N)$

Ergebnis

Die Slater-Determinante kann wie folgt geschrieben werden:

$A_N \phi_1(1) \phi_2(2) \dots \phi_N(N) = \frac{1}{\sqrt{N!}} \begin{vmatrix} \phi_1(1) & \phi_1(2) & \dots & \phi_1(N) \\ \phi_2(1) & \phi_2(2) & \dots & \phi_2(N) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \phi_N(1) & \phi_N(2) & \dots & \phi_N(N) \end{vmatrix} = |\phi_1\phi_2\dots\phi_N|$

Literatur

• Attila Szabo, Neil S. Ostlund: Modern Quantum Chemistry: Introduction to Advanced Electronic Structure Theory, McGraw-Hill 1989, ISBN 0-07-062739-8
• H. Friedrich: Theoretische Atomphysik. Springer, Berlin–Heidelberg 1994.
• T. Fliessbach: Lehrbuch zu Theoretischen Physik III: Quantenmechanik Spektrum-Verlag, 2008