Spezielle orthogonale Gruppe

Die spezielle orthogonale Gruppe $\operatorname{SO}(n,F)$ ist die Gruppe aller orthogonalen $n\times n$-Matrizen mit Koeffizienten aus einem Körper F mit Determinante Eins:

$\operatorname{det}(A)=1\quad\land\quad A^T \cdot A = E_n.$

Hierbei ist mit $\operatorname{det}$ die Determinante und mit E_n die Einheitsmatrix gemeint. Wenn aus dem Kontext klar ist, welcher Körper F ist, schreibt man auch $\operatorname{SO}(n)$. Die Gruppe ist im Allgemeinen nicht kommutativ.

Die SO als Untergruppe

Die spezielle orthogonale Gruppe $\operatorname{SO}(n,F)$ ist Untergruppe

• der orthogonalen Gruppe $\operatorname{O}(n,F)$
• der speziellen linearen Gruppe $\operatorname{SL}(n,F)$ und
• der allgemeinen linearen Gruppe $\operatorname{GL}(n,F)$.

Wenn F die Charakteristik 2 hat, fallen $\operatorname{SO}(n,F)$ und $\operatorname{O}(n,F)$ zusammen.

Reelle spezielle orthogonale Gruppen

Die spezielle orthogonale Gruppe $\operatorname{SO}(n)$ über dem Körper $\R$ der reellen Zahlen beschreiben Drehungen im Euklidischen Raum $\R^n$. Daher bezeichnet man die Gruppe $\operatorname{SO}(n)$ auch als Drehgruppe. $\operatorname{SO}(n)$ bildet eine reelle kompakte zusammenhängende Lie-Gruppe der Dimension $\frac{n(n-1)}2$. Die Lie-Algebra der $\operatorname{SO}(n)$ besteht aus dem Raum $\mathfrak{so}(n)$ der schiefsymmetrischen reellen Matrizen.

Reelle orthogonale Gruppe SO(2)

Sei die schiefsymmetrische Matrix

$A_2:=\left(\begin{matrix} 0&-\alpha\\ \alpha&0 \end{matrix}\right)$

mit den Eigenwerten $\pm i\cdot\alpha$ gegeben. Dann beschreibt der Endomorphismus A₂ eine Multiplikation mit $i\cdot\alpha$ in den komplexen Zahlen $\mathbb{C}\cong\R^2$. Außerdem beschreibt

$\exp(A_2)=\left(\begin{matrix} \cos(\alpha)&-\sin(\alpha)\\ \sin(\alpha)&\cos(\alpha) \end{matrix}\right)\in\operatorname{SO}(2)$

gerade die Rotation um den Winkel $\alpha\in\mathbb S^1$.

$\operatorname{SO}(2)$ ist daher isomorph zum Einheitskreis $\mathbb{S}^1$ in der Ebene der komplexen Zahlen mit der komplexen Multiplikation als Verknüpfung.

Reelle orthogonale Gruppe SO(3)

Sei die schiefsymmetrische Matrix

$A_3:=\left(\begin{matrix} 0 & \alpha\cdot n_3 & -\alpha\cdot n_2\\ -\alpha\cdot n_3 & 0 & \alpha\cdot n_1\\ \alpha\cdot n_2 & -\alpha\cdot n_1 & 0 \end{matrix}\right)$

mit $1=n_1^2+n_2^2+n_3^2$ gegeben. Dann ist $A_3\cdot\vec n=0$ und für die Matrizen A₃ und exp(A₃) gelten folgende Ähnlichkeiten

$A_3 \sim \left(\begin{matrix} 0 & 0 & 0\\0 & 0 & -\alpha\\0 & \alpha & 0 \end{matrix}\right) \quad\land\quad \exp(A_3) \sim \left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0\\0 & \cos(\alpha) & -\sin(\alpha)\\0 & \sin(\alpha) & \cos(\alpha) \end{matrix}\right).$

Hierbei wurde eine Orthonormalbasis gewählt, bei der der erste Vektor gerade $\vec n$ ist. exp(A₃) beschreibt also eine Drehung des Winkels α um die Drehachse $\vec n$.

$\operatorname{SO}(3)$ ist lokal, aber nicht global isomorph zur speziellen unitären Gruppe $\operatorname{SU}(2)$, ablesbar an isomorphen Lie-Algebren. Zu den verschiedenen Parametrisierungen der $\operatorname{SO}(3)$ siehe Eulersche Winkel.

Vektorfelder von gleichmäßigen reellen Rotationen

Jede Rotation im $\R^n$ lässt sich mit Hilfe einer schiefsymmetrischen Matrix $A_n\in\mathfrak{so}(n)$ als Funktion c(t,x) = exp(A_n)^tx beschreiben. Hierbei ist t der Zeitpunkt und x der Ausgangsort der Bewegung.

Wegen $\exp(A_n)^t=\exp(t\cdot A_n)$ bedeutet das also

$\begin{matrix} c: & \R\times\R^n & \to & \R^n\\ &(t, x) & \mapsto & \exp(t\cdot A_n)\cdot x \end{matrix}$

Als entsprechendes Vektorfeld $V:\R^n\to\R^n$ erhält man dann

$V(x)=\frac{\partial}{\partial t}c(0,x)=\exp(0\cdot A_n)\cdot A_n\cdot x = A_n\cdot x$

Vektorfelder von gleichmäßigen Rotationen lassen sich also gerade durch schiefsymmetrische Matrizen darstellen.