Lie-Gruppe

Eine Lie-Gruppe (auch Liesche Gruppe), benannt nach Sophus Lie, ist eine mathematische Struktur, die zur Beschreibung von kontinuierlichen Symmetrien verwendet wird. Lie-Gruppen sind in fast allen Teilen der heutigen Mathematik sowie in der theoretischen Physik, vor allem der Teilchenphysik, wichtige Werkzeuge.

Formal handelt es sich bei einer Lie-Gruppe um eine Gruppe, die zusätzlich die Struktur einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit besitzt, so dass die Multiplikation und Inversenbildung kompatibel mit dieser glatten Struktur sind.^[1]

Lie-Gruppen und Lie-Algebren wurden um 1870 von Sophus Lie zur Untersuchung von Symmetrien in Differentialgleichungen eingeführt; unabhängig von Lie entwickelte Wilhelm Killing ähnliche Ideen zum Studium nicht-euklidischer Geometrien. Die älteren Bezeichnungen stetige Gruppe oder kontinuierliche Gruppe für eine Lie-Gruppe beschreiben besser das, was man heute unter einer topologischen Gruppe versteht. Jede Lie-Gruppe ist auch eine topologische Gruppe.

Frühgeschichte

Gemäß den maßgebenden Quellen über die Frühgeschichte der Lie-Gruppen^[2] betrachtete Sophus Lie selbst den Winter 1873–1874 als Geburtsdatum seiner Theorie der stetigen Gruppen. Hawkins schlägt jedoch vor, dass es „Lies erstaunliche Forschungsaktivität während der vierjährigen Periode von Herbst 1869 bis Herbst 1873“ war, die zur Schaffung jener Theorie führte^[2]. Viele von Lies frühen Ideen wurden in enger Zusammenarbeit mit Felix Klein entwickelt. Lie sah Klein von Oktober 1869 bis 1872 täglich: in Berlin von Ende Oktober 1869 bis Ende Februar 1870 und in Paris, Göttingen und Erlangen in den folgenden zwei Jahren^[3]. Lie gibt an, dass alle Hauptresultate im Jahr 1884 erzielt worden seien. Jedoch wurden während der 1870er alle seine Abhandlungen (bis auf die allererste Mitteilung) in norwegischen Fachzeitschriften veröffentlicht, was eine Wahrnehmung im Rest Europas verhinderte^[4]. Im Jahr 1884 arbeitete der junge deutsche Mathematiker Friedrich Engel zusammen mit Lie an einer systematischen Abhandlung über dessen Theorie der stetigen Gruppen. Aus diesen Bemühungen ging das dreibändige Werk Theorie der Transformationsgruppen hervor, dessen Bände in den Jahren 1888, 1890, und 1893 veröffentlicht wurden.

Lies Ideen waren nicht isoliert vom Rest der Mathematik. In der Tat war sein Interesse an der Geometrie von Differentialgleichungen zunächst motiviert durch die Arbeit von Carl Gustav Jacobi über die Theorie der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung und die Gleichungen der klassischen Mechanik. Ein Großteil der Arbeiten Jacobis wurde in den 1860ern postum veröffentlicht, was in Frankreich und Deutschland ein enormes Interesse erzeugte^[5]. Lies idée fixe war es eine Theorie der Symmetrie von Differentialgleichungen zu entwickeln, die für diese bewerkstelligen sollte, was Évariste Galois für algebraische Gleichungen erreicht hatte: nämlich sie mit Hilfe der Gruppentheorie zu klassifizieren. Zusätzlicher Antrieb zur Betrachtung stetiger Gruppen entstand durch Ideen Bernhard Riemanns zu den Grundlagen der Geometrie und deren Entwicklung durch Klein (s. auch Erlanger Programm). Somit wurden drei Hauptthemen der Mathematik des 19. Jahrhunderts durch Lie in der Schaffung seiner neuen Theorie vereint: die Idee der Symmetrie, wie sie durch Galois' Notation einer Gruppe erklärt wird; geometrische Theorie und die explizite Lösung der Differentialgleichungen der Mechanik, wie sie von Poisson und Jacobi ausgearbeitet wurde; und das neue Verständnis der Geometrie, das durch die Arbeiten Plückers, Möbius', Graßmanns und anderer entstanden war und das seinen Höhepunkt in Riemanns revolutionärer Vision dieses Gegenstandes erreichte.

Auch wenn Sophus Lie heute rechtmäßig als der Schöpfer der Theorie der stetigen Gruppen betrachtet wird, wurde ein großer Fortschritt in der Entwicklung der zugehörigen Strukturtheorie, die einen tiefgehenden Einfluss auf die nachfolgende Entwicklung der Mathematik hatte, durch Wilhelm Killing erbracht, der 1888 den ersten Artikel einer Serie mit dem Titel Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen veröffentlichte^[6].

Die Arbeit Killings, die später durch Élie Cartan verfeinert wurde, führte zur Klassifikation der halbeinfachen Lie-Algebren, Cartans Theorie der symmetrischen Räume und Hermann Weyls Beschreibung der Darstellungen der kompakten und halbeinfachen Lie-Gruppen durch Gewichte.

Weyl brachte die frühe Periode in der Entwicklung der Theorie der Lie-Gruppen zur Reife, indem er nicht nur die irreduziblen Darstellungen halbeinfacher Lie-Gruppen klassifizierte und die Theorie der Gruppen mit der neu entstandenen Quantenmechanik in Verbindung brachte, sondern indem er auch Lies Theorie ein solideres Fundament dadurch verlieh, dass er klar zwischen Lies infinitesimalen Gruppen (den heutigen Lie-Algebren) und den eigentlichen Lie-Gruppen unterschied und die Untersuchung der Topologie der Lie-Gruppen begann^[7]. Die Theorie der Lie-Gruppen wurde systematisch in zeitgemäßer mathematischer Sprache in einer Monographie von Claude Chevalley ausgearbeitet.

Definitionen

Lie-Gruppe

Eine Lie-Gruppe ist eine glatte reelle oder komplexe Mannigfaltigkeit, die zusätzlich die Struktur einer Gruppe besitzt, so dass die Gruppenverknüpfung und die Inversion beliebig oft differenzierbar sind. Die Dimension der Lie-Gruppe ist die Dimension der unterliegenden Mannigfaltigkeit. Ist diese endlich, so ist die unterliegende Mannigfaltigkeit automatisch analytisch und die Gruppenmultiplikation und Inversion sind analytische Funktionen.

Lie-Algebra der Lie-Gruppe

Die Vektorfelder auf einer glatten Mannigfaltigkeit M bilden mit der Lie-Klammer eine unendlich-dimensionale Lie-Algebra. Die zu einer Lie-Gruppe G gehörende Lie-Algebra $\mathfrak{g}$ besteht aus dem Unterraum der links-invarianten Vektorfelder auf G. Dieser Vektorraum ist isomorph zum Tangentialraum T_eG am neutralen Element e von G. Insbesondere gilt also $\dim G = \dim\mathfrak{g}$. Bezüglich der Lie-Klammer [.,.] ist der Vektorraum $\mathfrak{g}$ abgeschlossen. Somit ist der Tangentialraum einer Lie-Gruppe G am neutralen Element eine Lie-Algebra. Diese Lie-Algebra nennt man die Lie-Algebra der Lie-Gruppe G.

Lie-Gruppen-Homomorphismus

Ein Homomorphismus von Lie-Gruppen $G,\ H$ ist ein Gruppen-Homomorphismus $f\colon G \to H$, der zugleich eine glatte Abbildung ist. Man kann zeigen, dass dies bereits dann der Fall ist, wenn f stetig ist. Falls G und H endlichdimensional sind, ist f sogar analytisch.

Ein Isomorphismus von Lie-Gruppen ist ein bijektiver Lie-Gruppen-Homomorphismus. Isomorphe Lie-Gruppen werden für alle praktischen Zwecke als gleich betrachtet.

Lie-Untergruppe

Sei G eine Lie-Gruppe. Eine Lie-Untergruppe H ist eine Untergruppe von G zusammen mit einer Topologie und einer glatten Struktur, die diese Untergruppe wieder zu einer Lie-Gruppe macht.

Lie-Untergruppen sind also im Allgemeinen keine eingebetteten Untermannigfaltigkeiten, sondern nur immersierte Untermannigfaltigkeiten. Ist jedoch $H \subset G$ eine eingebettete topologische Untergruppe mit der Struktur einer eingebetteten Untermannigfaltigkeiten, dann ist H auch eine Lie-Gruppe.

Erste Beispiele

1. Typische Beispiele sind die Allgemeine lineare Gruppe, also die Gruppe der invertierbaren Matrizen mit der Matrixmultiplikation als Verknüpfung sowie deren abgeschlossene Untergruppen, zum Beispiel die Gruppe SO(3) aller Drehungen im dreidimensionalen Raum. Weitere Beispiele für Untergruppen der allgemeinen linearen Gruppe sind
   1. Orthogonale Gruppe
   2. Unitäre Gruppe
   3. Spezielle unitäre Gruppe
   4. Spezielle orthogonale Gruppe
   5. Spezielle lineare Gruppe
2. Poincaré-Gruppe
3. Galilei-Gruppe
4. Der Euklidische Raum Rⁿ mit der Vektoraddition als Gruppenoperation ist eine einigermaßen triviale reelle Lie-Gruppe.

Klassifikationsmöglichkeiten

Jede Lie-Gruppe ist eine topologische Gruppe. Somit besitzt eine Lie-Gruppe auch eine topologische Struktur und kann nach topologischen Attributen klassifiziert werden: Lie-Gruppen können beispielsweise zusammenhängend, einfach-zusammenhängend oder kompakt sein.

Man kann Lie-Gruppen auch nach ihren algebraischen, gruppentheoretischen Eigenschaften klassifizieren. Lie-Gruppen können einfach, halbeinfach, auflösbar, nilpotent oder abelsch sein. Dabei ist zu beachten, dass gewisse Eigenschaften in der Theorie der Lie-Gruppen anders definiert werden als sonst in der Gruppentheorie üblich: So nennt man eine zusammenhängende Lie-Gruppe einfach oder halbeinfach, wenn ihre Lie-Algebra einfach oder halbeinfach ist. Eine einfache Lie-Gruppe G ist dann im gruppentheoretischen Sinne nicht notwendigerweise einfach. Es gilt aber:

Ist G eine einfache Lie-Gruppe mit Zentrum Z, dann ist die Faktorgruppe G/Z auch einfach im gruppentheoretischen Sinne.

Auch die Eigenschaften nilpotent und auflösbar definiert man meist über die entsprechende Lie-Algebra.

Anmerkungen

1. ↑ Grob gesprochen ist eine Lie-Gruppe eine Gruppe, die ein Kontinuum bzw. ein stetig zusammenhängendes Ganzes bildet. Ein einfaches Beispiel für eine Lie-Gruppe ist die Gesamtheit aller Drehungen einer Ebene um einen fest ausgezeichneten Punkt, der in dieser Ebene liegt: alle diese Drehungen bilden zusammen eine Gruppe, aber auch ein Kontinuum in dem Sinne, dass sich jede dieser Drehungen eindeutig durch einen Winkel zwischen 0° und 360° Grad bzw. ein Bogenmaß zwischen 0 und 2π beschreiben lässt und in dem Sinne, dass Drehungen, die sich nur um kleine Winkel voneinander unterscheiden, kontinuierlich ineinander überführbar sind. Ein Kreis, der in der betrachteten Ebene liegt und den fest ausgezeichneten Punkt als seinen Mittelpunkt besitzt, ist dann aus Sicht dieser Lie-Gruppe als symmetrisch zu bezeichnen, da er unter jeder Drehung unverändert bleibt. Hingegen ist ein Rechteck, dessen Mittelpunkt mit dem festgelegten Punkt übereinstimmt, aus Sicht der vorliegenden Lie-Gruppe nicht symmetrisch. Mit der angegebenen Lie-Gruppe lassen sich also Figuren der Ebene beschreiben, die eine „Drehsymmetrie“ aufweisen.
2. ↑ ^{a b} Hawkins, 2000, S. 1
3. ↑ Hawkins, 2000, S. 2
4. ↑ Hawkins, 2000, S. 76
5. ↑ Hawkins, 2000, S. 43
6. ↑ Hawkins, 2000, S. 100
7. ↑ Borel, 2001

Literatur

• Armand Borel, Essays in the history of Lie groups and algebraic groups, History of Mathematics 21, American Mathematical Society, 2001. ISBN 0-8218-0288-7

• Thomas Hawkins, Emergence of the theory of Lie groups, Springer, 2000. ISBN 0-387-98963-3

• Brian C. Hall, Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Springer, 2003. ISBN 0-387-40122-9

• Nicolas Bourbaki, Elements of mathematics: Lie groups and Lie algebras Chapter 1-3 ISBN 3-540-64242-0, Chapters 4-6 ISBN 3-540-42650-7, Chapters 7-9 ISBN 3-540-43405-4

• Claude Chevalley, Theory of Lie groups, ISBN 0-691-04990-4.

• Jean-Pierre Serre. Lie Algebras and Lie Groups: 1964 Lectures given at Harvard University, LNM 1500, Springer. ISBN 3-540-55008-9

• Anthony W. Knapp, Lie Groups Beyond an Introduction, zweite Auflage. Birkhäuser, 2002.

• John Frank Adams, Lectures on Lie Groups (Chicago Lectures in Mathematics). ISBN 0-226-00527-5

• William Fulton, Joe Harris, Representation Theory: A First Course (Graduate Texts in Mathematics / Readings in Mathematics), Springer; Erste Auflage ISBN 0-387-97495-4

• Wulf Rossmann, Lie Groups: An Introduction Through Linear Groups (Oxford Graduate Texts in Mathematics), Oxford University Press ISBN 0-19-859683-9. Die Neuauflage von 2003 korrigiert einige unglückliche Druckfehler.

Weblinks

• Spiegel Online: Durchbruch in der Forschung
• Telegraph.co.uk: Is this the fabric of the universe? (englisch)